Пусть О - центр основания. Треугольники ABC, AOC, OCE, CED, AOE, AEF равны между собой (докажите! - например, так - ABCO - ромб, поскольку в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности - поскольку стягивает дугу в 60 градусов, то есть расстояние от центра шестиугольника до вершины равно расстоянию между вершинами, далее, диагональ АС делит ромб АВСО на два равных треугольника, и так далее...). Поэтому площадь треугольника AEF равна 1, а объем прямой треугольной призмы AEFA1E1F1 равен 10.
Пусть К - середина МА.
1. Построение сечения.
В плоскости (АМС) соединим точки К и С. КС∩МО = Т.
В плоскости (DMB) через точку Т проведем прямую, параллельную BD. Точки L и H - точки пересечения этой прямой с ребрами MB и MD соответственно.
KLCH - искомое сечение (Точки С и К лежат в плоскости сечения, HL║BD, значит и сечение параллельно BD).
2.
BD⊥AC как диагонали квадрата
BD⊥MO, т.к. МО высота пирамиды, ⇒ BD⊥(AMC)
KC⊂(AMC) ⇒ BD⊥KC ⇒ HL⊥KC
В четырехугольнике KLCH диагонали перпендикулярны, поэтому его площадь можно найти как половину произведения диагоналей.
AC = 6√2 как диагональ квадрата.
Из ΔАМС по теореме косинусов
cosA = (AM² + AC² - MC²)/(2AM·AC)
Из ΔАКС по теореме косинусов
cosA = (AK² + AC² - KC²)/(2AK·AC)
Приравняем:
(AM² + AC² - MC²)/(2AM·AC) = (AK² + AC² - KC²)/(2AK·AC)
(144 + 72 - 144)/(2·12·6√2) = (36 + 72 - KC²)/(2·6·6√2)
72/2 = 108 - KC²
KC² = 72
KC = 6√2
В ΔАМС точка Т - точка пересечения медиан. Значит,
МТ:ТО = 2:1, и МТ:МО = 2:3
ΔHML подобен ΔDMB по двум углам (угол при вершине М общий, ∠MHL = ∠MDB как соответственные при пересечении HL║BD секущей MD) ⇒
HL:DB = МТ:МО = 2:3
HL = BD·2/3 = 6√2 · 2/3 = 4√2
Sklch = KC·HL/2 = 6√2·4√2/2 = 24