24 м² и 30°.
Объяснение:
Дано:
АВСА1В1С1-правильная усеченная пирамида
АВ=ВС=АС=8 см
А1В1=В1С1=А1С1=5 см
OO1= 3 см
Найти: площадь сечения и угол между ним и нижним основанием
1) СА1В - искомое сечение, т.к. точки А1С и А1В находятся в одних плоскостях.
2)Ось правильной усеченной пирамиды совпадает с осью соответствующей полной пирамиды, поэтому OO1 является высотой усеченной пирамиды. О1 — центр окружности, описанной около треугольника А1В1С1, О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС.
Формула для радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника:
R=а*
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник:
r= а*
R=А1О1=
r=ОН=
=
Проведем АН⊥ВС в ΔАВС. ОО1⊥(АВС)⇒ОО1⊥АН.
По теореме о трех перпендикулярах А1Н⊥ВС в ΔСА1В.
Угол ∠А1НА - линейный угол искомого двугранного угла.
Рассмотрим ΔА1О1К и ΔНОК.
∠А1О1К=∠НОК=90°, ∠А1КО1=∠НКО как вертикальные.
⇒ ΔА1О1К подобен ΔНОК ( по двум углам).
Из подобия Δ следует:
А1О1:ОН=О1К:КО
А1О1*КО=ОН*О1К
Пусть О1К= х, тогда КО=(3-х):
* (3-х) =
5√3(3-х)=4√3*х
9√3х=15√3
х=5/3
О1К = 5/3,
КО=3-5/3=4/3
ΔА1О1К(∠О1=90°): по т.Пифагора
А1К=√(А1О1²+О1К²)= √(75/9+25/9)=√(100/9)=10/3
ΔОКН(∠О=90°): по т.Пифагора
КН=√(ОН²+КО²)=√(16/9+48/9)=8/3
А1Н=А1К+КН=10/3+8/3=18/3=6 см
Площадь искомого сечения это площадь ΔСА1В:
S = 1/2 * ВС* А1Н = 1/2 * 8 * 6 = 24 см²
3) Рассмотрим ΔКОН(∠О=90°)
tg ∠KHO = KO/OH = 
: = 
Тогда ∠KHO = 30°.
Т.к. ∠А1НА = ∠KHO, то ∠А1НА=30°
Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1.
S =π*r₁² ⇒ r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π) < 1 = r.
значит можно.
2. Не может.
k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ .
Если :
AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁.
BE : EC = 1 : 2 ⇒BE = k₂ , EC = 2k₂ ; BC=3k₂.
CF : FA = 1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA = 2k₃ ; AC =3k₃.
DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ;
EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ .
AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁
⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.
Если :
AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁.
BE : EC = 2 : 1 ⇒BE = 2k₂ , EC = k₂ ; BC=3k₂.
DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда точка касания F середина AC.