АВС - равнобедренный тр-ник, АВ=ВС=40 см, ВМ=4√91 см, АР и СК - биссектрисы. Найти КР. Тр-ки АРС и АКС равны, так как ∠АСК=∠САР, ∠КАС=∠РСА, сторона АС - общая, значит АК= РС, значит КР║АС, значит треугольники АВС и КВР подобны. В прямоугольном тр-ке АВМ АМ²=АВ²-ВМ²=40²-(4√91)²=144, АМ=12 см, АС=2АМ=24 см. Коэффициент подобия тр-ков АВС и КВР равен: k=АВ/КВ. По теореме биссектрис в тр-ке АВС с биссектрисой СК: ВС/АС=КВ/АК ⇒ КВ=ВС·АК/АС. АК=АВ-КВ, значит КВ=ВС(АВ-КВ)/АС. КВ=40(40-КВ)/24, 24КВ=1600-40КВ, 64КВ=1600, КВ=25 см, Подставим это значение в формулу коэффициента подобия: k=АВ/КВ=40/25=1.6 Исходя из подобия тр-ков АВС и КВР КР=АС/k=24/1.6=15 см - это ответ.
Радиус описанной около треугольника окружности находится по формуле
R=abc/(4S), где а,в.и с -стороны треугольника, а S-площадь треугольника.
Т.к. треугольник равнобедренный, то а=в=sqrt{2}. Сторона с=sqrt{7}.
Опустим в треугольнике АВС высоту АН и найдём её дину из прямоугольного треугольника АВН: ВН=ВС/2=sqrt{7}/2
AH=sqrt{AB^2-BH^2}=sqrt{(sqrt{2})^2-(sqrt{7}/2)^2}=sqrt{1/4}=1/2
Теперь найдём площадь треугольника АВС:
S(ABC)=BC*AH/2=sqrt{7}*(1/2)/2=sqrt{7}/4
Осталось только все найденные величины подставить в формулу для нахождения радиуса:
R=abc/(2S)=sqrt{2}*sqrt{7}*sqrt{2}/(4sqrt{7}/4)=2sqrt{7}*4/4sqrt{7}=2
ответ: 2