Как запутано! Просто Алиса в стране Чудес.
В треугольнике ВНМ, образованном высотой из вершины В к АС - пусть это ВН, медианой из вершины В, то есть отрезком, соединяющим В с серединой АС - точкой М, и частью стороны АС - отрезком МН, указанный срединный перпендикуляр к средней линии А'C', параллельной АС, является средней линеей, параллельной ВН.
В самом деле, медиана ВМ делит A'C' пополам в силу подобия АВС и A'BC' (ну, проще говоря, медианы ABC и A'BC' из вершины В совпадают). Значит, медиана ВМ как раз проходит через ту точку, в которой проводится срединный перпендикуляр к А'C'. Само собой, он параллелен ВН, то есть это средняя линяя в ВНМ, параллельная ВН, и следовательно, делит ВМ пополам, что и требовалось доказать.
OA=OB=OC (радиусы окружности)
OA=OB=OC=BA=BC => △BAO, △BCO равносторонние => ∠ABO=∠OBC=60 (в равностороннем треугольнике все углы равны 60)
∠ABC=∠ABO+∠OBC=120
∠ADC=180-∠ABC=60 (сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180)
∠BAD=∠DCB=90 (вписанные углы, опирающиеся на диаметр)
2) BH=9; AC=24
AB=BC
AH=AC/2 (в равнобедренном треугольнике высота является медианой)
AB=√(AH^2+BH^2) = √(24^2/4 +9^2) =15
Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис.
Биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
BO/OH =(AB+BC)/AC = 2AB/AC =30/24 =5/4
r= OH = BH*4/9 =4
R= AB*BC*AC/2*S = AB*BC/2*BH = 15^2/2*9 =12,5
Проверка:
r*R= AB*BC*AC/2(AB+BC+AC)
15*15*24/2(15+15+24) = 50 = 4*12,5