Угол между радиусами вписанной окружности правильного многоугольника, проведёнными в точки касание этой окружности с соседними сторонами многоугольника, равен 20 градусов. Найдите количество сторон многоугольника.
------
Полная окружность 360°, угол между соседними радиусами, проведенными в точки касания соседних сторон, 20°. Всего таких углов 360°:20°=18
Подробно.
Радиус, проведенный в точку касания окружности с прямой, перпендикулярен ей.
Два радиуса, проведенные из центра в точки касания А и С соседних сторон правильного многоугольника, образуют с ними четырехугольник АОСВ, два угла которого прямые, а третий, ∠АОС= 20°.
Суммы углов выпуклого многоугольника 180°•(n-2), где n- количество сторон (и углов) многоугольника. Для четырехугольника сумма углов равна 360°.
∠АВС равен 360°-2•90°-20°=160°
Тогда сумма углов многоугольника равна 160n⇒
160°•n=180°•(n-2) ⇒
180°n-160n=360°
20n=360° ⇒
n=18
Высота ВD проведена к АС и делит АС на отрезки АD и CD, найдем их по теореме Пифагора:
AD^2=AB^2-BD^2=225-144=81 см^2
AD=корень из 81=9 см
СD^2=BC^2-BD^2=169-144=25 см^2
CD=корень из 25=5 см
То есть, теперь найдем АС:
АС=9+5=14 см
S=0,5*14*12=84 см^2
ответ:84 см^2