Question

Втреугольникеавсизвестно, чтоав = 18, вс = 16, cos∠в=4/9, ан – высота. через точку н проведена прямая, отсекающая от треугольникаподобный ему треугольник и пересекающая сторну ав в точке м. найдите нм.

Answer 1

Чертежи к задаче - во вложении.

По условию задачи в силу подобия треугольников АВС и ВМН необходимо рассмотреть 2 случая.

1-й случай.

Из подобия треугольников следует равенство ∠АВС=∠MBH (по условию) и ∠АСВ=∠ВMН.

Тогда отношение сходственных сторон:

$\frac{BM}{BC}=\frac{MH}{AC}=\frac{BH}{AB}$

По теореме косинусов в ∆АВС АС²=АВ²+ВС²-2·АВ·ВС·cos B=18²+16²-2·18·16·4/9=18²+16²-16²=18²   => AC=18

В прямоугольном ∆АНВ   ВН=АВcosB= 18·4/9=8

Тогда получим

$\frac{MH}{AC}=\frac{BH}{AB} \ = \frac{MH}{18}=\frac{8}{18} \ = MH=8$

2-й случай.

Из подобия треугольников следует равенство ∠АВС=∠MBH (по условию)  и ∠АСВ=∠MНB.

Тогда MH||AC и отношение сходственных сторон:

$\frac{BM}{BA}=\frac{MH}{AC}=\frac{BH}{BC} \ = \frac{MH}{18}=\frac{8}{16}\ = MH=\frac{18*8}{16}=9$

ответ: 8 или 9.