Дано: КМРТ - трапеція, КМ⊥КТ, МТ⊥КР, МО=2 см, ОТ=8 см. Знайти МК.
Трикутники, утворені основами трапеції та відрізками її діагоналей, подібні. Тому ΔМОР подібний ΔКОТ, МО/ОТ=МР/КТ=1/4.
Нехай МР=х см, тоді КТ=4х см.
Якщо прямокутна трапеція має перпендикулярні діагоналі, то довжина висоти трапеції дорівнює середньому геометричному довжин її основ.
МК=√(МР*КТ)=√(4х*х)=√(4х²)=2х см.
Розглянемо ΔКМТ - прямокутний, МР=2+8=10 см.
За теоремою Піфагора МТ²=КМ²+КТ²; 100=4х²+16х²; 20х²=100; х²=5; х=√5
КМ=2√5 см.
Рассмотрим диагональ трапеции МК и медиану треугольника РАК - КН . Диагональ проходит точку К и точку пересечения медиан, медиана также проходит точку К и точку пересечения медиан, значит медиана КС честь диагонали МК. Аналогично доказывается, что медиана РН - чеасть диагонали РЕ.
Точка Н делит РА попалам => МН - медиана в равнобедренном РАМ (РА=МА по условию) является и высотой и биссектрисой => МК перпендикулярна РА => КН медиана я вляющаяся и высотой в РКА => РК=КА
Аналогично доказывается с диагонолью РЕ:
РЕ перпендикулярно КА, РК=РА
Имеем Равносторонний РКА (РА=РК=КА) => РН=НА=АС=КС=РВ=КВ
Пусть РМН=АМН=х(т к МН - биссектриса)
По свойствам трапеции:
180=Р+М=2х+60+МРА (АРК=60 т к РКА - равносторонний)
МРА=90-х(по теореме об острых углах прямоуг. треугольника)
2х+90-х+60=180
х=30
(Аналогично с углами К и Е: СЕК=СЕА=30)
РМН=30
РН=sin30*РМ=sin30*a=a/2 Тогда
РН=НА=АС=КС=РВ=КВ=а/2
Тогда основание меньшее РК=РВ+КВ=а
Рассмотрим треугольники
СЕА и МНА
НА=АС
СЕА=30=АМН
То есть СЕА=МНА => АЕ=МА=а
КЕ=АЕ=а
ТОгда большее основание
МЕ=МА+АЕ=2а
Теперь осталось найти высоту трапеции
Приведем ее РН1
В треугольнике РМН1
РН1=РМ=РМ*sin60= 0.866а
И наконец
S=((A+B)/2)*h=(a+2a)/2 * 0.866а=0.14433а
ответ 0.14433а