У трикутнику АВС проведені медіана ВО завдовжки 6 см і висота BD. Кут між ними DBO дорівнює 30°. Знайдіть основу АС, якщо DC = 5см. (Вносити тільки число без одиниць вимірювання)
1) В прямоугольном треугольнике ОВD (угол D прямой), образованном медианой, высотой и отрезком ОD основания, катет ОD лежит против угла 30°, следовательно, равен 1/2 гипотенузы ОВ:
ОD = ОВ : 2 = 6 : 2 = 3
2) ОС = ОD + DC = 3 + 5 = 8
3) Медиана ВО делит АС на 2 равных отрезка, значит:
Тут все гораздо проще, чем кажется. Пусть основание ABCD, вершина S, M - середина AB. Плоскость, перпендикулярная AB и проходящая через точку M, пройдет и через точку C. Это понятно из того, что ASC - равносторонний треугольник, а MC в нем - срединный перпендикуляр. Теперь если O - центр квадрата в основании, то CM и SO - медианы треугольника ASC. Поэтому точка их пересечения R находится расположена на высоте SO/3 от основания. Вторая диагональ четырехугольника в сечении NK (K - на SD, N - на SB) проходит через точку R и параллельна BD. Поэтому NK = BD*2/3 = 4; SO = MC = 6√3/2 = 3√3; Диагонали сечения MC и NK перпендикулярны, поэтому площадь MNCK равна половине их произведения 4*3√3/2 = 6√3; Объем пирамиды ABCDS = Sabcd*SO/3 = (6^2/2)*(3√3)/3 = 18√3; Высота пирамиды MNCKS - это отрезок SM (не особо задумывайтесь - почему, это по условию так); SM = 3; Объем пирамиды MNCKS = Smnck*SM/3 = (6√3)*3/3 = 6√3; То есть сечение отсекает 1/3 объема исходной пирамиды, остается 2/3;
Вписать в четырехугольник (трапецию) можно при условии: сумма противоположных сторон равны. Поскольку трапеция прямоугольная, значит боковая сторона, образующая с основаниями прямой угол = 2R=12. Обозначим другую боковую сторону через y. Если проведем высоту к большему основанию, получим прямоугольник со сторонами 6 и 10. Теперь нужно составить уравнение, чтобы найти разницу между основаниями, обозначим это значение через х. Тогда получим уравнение: 12+у=10+(10+х) Отсюда выразим х=у-8. В прямоугольном треугольник у-гипотенуза, х - катет, другой катет=12. По теореме Пифагора, находим у^2-(x-8)^2=12^2. Раскроем скобки, приведем подобные, получим 16у=208, у=13. Отсюда х=5. Значит большая сторона = 15. По формуле площади трапеции: S=(10+15)/2*12 S=25*6=150
16
Объяснение:
1) В прямоугольном треугольнике ОВD (угол D прямой), образованном медианой, высотой и отрезком ОD основания, катет ОD лежит против угла 30°, следовательно, равен 1/2 гипотенузы ОВ:
ОD = ОВ : 2 = 6 : 2 = 3
2) ОС = ОD + DC = 3 + 5 = 8
3) Медиана ВО делит АС на 2 равных отрезка, значит:
АС = ОС · 2 = 8 · 2 = 16
ответ: АС = 16