Нужно решить с ВЕКТОРОВ хотя бы с одной. В правильной шестиугольной призме ABCDEFABCDIEiFi, все ребра которой равны З, найдите расстоянии от точки В до прямойA1F1. 14. Основание прямой треугольной призмы АВСАjВісі — треугольник ABC, в котором АС-ВС=6 а один из углов равен 60° На ребре СС отмечена точка р так, что СРСР= 2:1 Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ABP, если расстояние между прямыми AC и AiB равно 183 15. В правильной треугольной призме ABCABC, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми ADI и CE1, где D и E соответственно середины ребер AICA и BiC. 16. В правильной шестиугольной призме ABCDEFABCDEiFi, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости BFE1 19. в правильной шестиугольной призме ABCDEFABCDEFL стороны основания равны 1, а высота 6. Найдите угол между прямой FiBi плоскостью AF1Ci.
Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть ABC — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.
1) и 2) ответы на теоретические вопросы даются в учебниках.
3. Даны вершины тетраэдра: A(2; -1; 3), B(1; -3; 5), C(6; 2; 5), D(3; -2; - 5). Определить длину высоты от вершины D до плоскости ABC.
Находим нормальный вектор плоскости АВС.
Находим векторы АB и АC.
Вектор АВ = (1-2; -3-(-1); 5-3) = (-1; -2; 2).
Вектор АC = (6-2; 2-(-1); 5-3) = (4; 3; 2).
Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC с применением схемы Саррюса.
i j k| i j
-1 -2 2| -1 -2
4 3 2| 4 3 = -4i + 8j - 3k + 2j - 6i + 8k =
= -10i + 10j + 5k.
Нормальный вектор плоскости АBC равен (-10; 10; 5).
Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
S = (1/2)√((-10)² + 10² + 5²) = (1*2)√(100 + 100 + 25) = (1/2)√225= (15/2) кв. ед.
Далее находим объём пирамиды ABCD.
Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.
Произведение векторов (ABxAC) найдено выше и равно (-10; 10; 5).
Находим вектор AD, точки A(2; -1; 3), D(3; -2; - 5).
AD = (3-2; -2-(-1); -5-3) = (1; -1; -8),
(ABxAC) = -10 10 5
AD = 1 -1 -8
-10 - 10 - 4 = -60.
V = (1/6)*|-60| = 10.
Длину высоты Н из точки D на плоскость АВС находим по формуле:
H = 3V/S = (3*10/(15/2) = 60/15 = 4.