Question

Срешением , 1) найти угол между векторами а(2 ; корень2) и b (4; корень2). 2)катеты прямоугольного треугольника 20 и 15. найти проекцию меньшего катета на гипотенузу.

Answer 1

По формуле 
cosa= (2*4  + √2*√2 )  / √2^2+√2^2   *  √4^ 2    + √2^2             =     10 /√6*18  =  12/√108  =   5/√27 
a=arccos(5/√27)  

2)  Гипотенуза равна 
   √20^2+15^2       =  25 
   теперь опускаем высоту   на гип
    Найдем высоту  по формуле h=ab/c = 20*15/25 =12
    проекция равна   = √15^2-12^2=9 
   

Answer 2

1) Угол между векторами можно вычислить через их скалярное произведение:
$\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\vec{a},\vec{b}) = cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}\\ \vec{a}*\vec{b}=2*4+\sqrt2*\sqrt2=10\\ |\vec{a}|=\sqrt{2^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt6\\ |\vec{b}|=\sqrt{4^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt{18}\\ cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{10}{\sqrt{6}*\sqrt{18}}=\frac{5}{3\sqrt3}\approx0.9623\ = \angle(\vec{a},\vec{b})\approx 16^o$
2) Рассмотрим ∆АВС, ∠С=90°, АС=20, ВС=15.
Для нахождения проекции наименьшего катета на гипотенузу проведем высоту СН из вершины прямого угла С. Тогда проекция наименьшего катета CВ на гипотенузу АВ есть отрезок НВ.
По теореме Пифагора в  ∆АВС $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{400+225}=25$
Из подобия прямоугольных ∆АВС и ∆НВС следует, что
$CB^2=AB*HB\ \ = \ HB=\frac{CB^2}{AB}=\frac{15^2}{25}=9$
ответ: 9.