Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(-1; 0), B(2; 3),C(3; 0), D(-1; -1). Найдите косинус острого угла между диагоналями AC и BD.
ответ: 3/5 =0,6
Объяснение: α = AC^BD
AC ={3 -(-1) ; 0 -0} AC ={ 4 ; 0} ; |AC| =4
BD ={-1 -2 ; -1 -3} BD ={ -3 ; -4} ; |BD| =√( (-3)²+(-4)²) =√(9 +16 ) =5
AC*BD =|AC|*|BD|cos(AC^BD) =4*5*cosα (по определению скалярного произведения двух векторов)
AC*BD =4*(-3) +0*(-4) = - 12 (по теорему скалярного произведения двух векторов; сумма произведения соответствующих координат).
4*5*cosα = - 12 ⇔cosα = -3/ 5 < 0 (α -тупой угол)
Острый угол между диагоналями AC и BD будет смежный угол : β =180° - α ⇒ cosβ =cos(180° -α) = -cosα = 3/5 .
* * * ИЛИ | cosβ| = | (x₁*x₂+y₁*y₂) / √(x₁²+y₁²) *√(x₂²+y₂²) * * *
1)При параллельных Прямымых ВС и DE и секущей АD угол АВС= углу АDC т. к. соответственные, и при тех же прямых и секущей АЕ угол АСВ= углу АЕD
Так как у этих Треугольников есть общий угол А и ещё два равных значит эти треугольники подобны
Треугольник АВС подобен Треугольнику АDE по 3 углам
АD=AB+BD=2+1=3
Отношение АD к АВ как 3:2
Значит отношение DE к ВС как 24:х
3/2=24/х
3*х=24*2
3х=48
х=16
ответ 16
2) При параллельных Прямымых ВС и EF и секущей АВ угол АЕF= углу АВС т. к. соответственные,
Та как у этих двух треугольников есть общий угол А и ещё 2 равных угла, значит эти треугольники подобны по 3 углам
АВ/АЕ=СА/АF=BC/FE
FA^2 = ЕА^2 -ЕF^2
FA^2 =100-36=64
FA=8, значит у =8
AC=AF+FC=12+8=20
Находим коэффициент подобия
АС/АF=20/8=5/2=2,5
И далее умножаем ЕF*2,5=15
ответ 15
х+2х=90, так как угол прямоугольника равен 90 градусов
3х=90
х=30 - один из углов
30*2=60 градусов другой
прямоугольник диагональю , равной 8 см разбился на два прямоугольника , вкоторых эта диагональ является гипотенузой, а острые углы по 30 и 60 градусов
На против угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике лежит катет равный половине гипотенузы , значит он равен 8:2=4 см-это одна из сторон прямоугольника.Другую найдем по теореме Пифагора корень из 8^2-4^2=корень из 48 см
ответ: 4 см и корень из 48 см