Основой пирамиды есть прямоугольный треугольник ABC (кут С= 90 градусов, пирамида SABC) BC=a, а кут ABC= "aльфа". Pебро SA перпендикулярно до ABC,а грань SBC утворює з АВС кут "фі" . Знайти объём пирамиды
Признаки ромба: равенство сторон и неравенство диагоналей.
Перпендикулярность диагоналей и деление их точкой пересечения пополам вытекают как следствие из равенства сторон по свойству равнобедренных треугольников.
Точка А Точка В Точка С
х у х у х у
1 5 7 7 13 5
Длины сторон
AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) = 40 6,32455532
BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) = 40 6,32455532
AC (b) = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) = 144 12
Точка D BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) = 16 4
х у СD = √((xD-xС)² + (yD-yС)²) = 40 6,32455532
7 3 AD = √((xD-xA)² + (yD-yA)²) = 40 6,32455532.
Как видим - все признаки совпали.
Доказано: чотирикутник з вершинами в точках А(1;5),В(7;7),С(13;5) i D(7;3)-ромб.
БИЛЕТ №19. 1.На листочке бумаги чертишь по линейке одну сторону. Обозначь, например конечные точки А и ВЦиркулем на линейке берешь размер второй стороны, в точку А ставишь иголочку циркуля. Карандашом циркуля проводишь дугу.Теперь берешь циркулем размер третьей стороны. Из точки В проводишь циркулем дугу. Где дуги пересеклись, поставь точку С. Это третья вершина твоего треугольника. Соедини точки А, В, С по линейке.А теперь подумай -если сумма длин сторон АС и ВС будет меньше или равна длине стороны АВ, разве твои дуги пересекутся? Попробуй для интереса. Нет, не пересекутся.Отсюда и делаем вывод ( для этого и задачу задали) -сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны. 2.Теорема (Соотношение между сторонами и углами треугольника) . В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезокAD, равный стороне АС. Треугольник АСD - равнобедренный. Следовательно, Ð1 = Ð2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэтому Ð1 < ÐC. С другой стороны, угол 2 является внешним углом треугольника ВСD. Поэтому Ð2 > ÐB. Следовательно, имеем ÐC > Ð1 = Ð2 > ÐB. Следствие: В произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Докажем, что если в треугольнике АВС угол С больше угла В, то и сторона АВ больше стороны АС. Действительно, эти стороны не могут быть равны, так как в этом случае треугольник АВС был бы равнобедренным и, следовательно, угол С равнялся бы углу В. Сторона АВ не может быть меньше стороны АС, так как в этом случае, по доказанному, угол С был бы меньше угла В. Остается только, что сторона АВ больше стороны АС. 3.1) 2+3=5(см) - боковая сторона. 2) 5+2=7(см) - основание Проверка: 5х2=10, 10-3=7 Так же: х - основание у - боковая сторона у+2=х х+3=у2 у+2+3=у2 Так как чтобы из у получить у2 надо к у прибавить у, то (2+3)=у БИЛЕТ №201. Поставить острие циркуля в вершину угла и на обоих лучах угла отложить равные отрезки (сделать засечки). Не меняя раствора циркуля поставить поочередно острие циркуля на засечки, сделанные в шаге 1, и провести дуги, так, чтобы они пересеклись. Точку пересечения дуг соединить с вершиной угла. Это и будет биссектриса. 2.Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB , и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB . Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD .Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD , ADC = BDC . Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника.Теорема доказана. 3.Если внешний угол А равен 120 => сам угол А = 60 (как смежные углы, т. е. 180-120). если угол А = 60 => угол В = 30 градусов. В прямоугольном треукгольнике напроитв угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. то есть. АВ = 2 * АС. =>2*АС + АС = 18.=> 3*АС = 18 => АС = 6 => АВ = 18 - 6 = 12БИЛЕТ №211.Возьми циркуль и выстави на нём длину чуть меньше отрезка. Иглу на начало отрезка, чертим окружность. Иглу на конец отрезка, чертим окружность. Окружности пересекутся в двух точках, соедини эти точки прямой. Прямая пересечёт середину заданного отрезка. 2.Пусть при пересечении прямых а и b секущей c сумма односторонних углов равна 180. Т. к. эти углы 3 и 4 смежные, то 3+4=180. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые параллельны. 3.AO=MH, так как ОС и ЕН - медианы треугольников ABC и MKE. Так как углы С и Е равны и ВС=КЕ, то углы АСО и МЕН также равны. Так как углы В и К равны, то соответственно углы А и М равны, из этого следует, что треугольники АСО и МЕН равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Признаки ромба: равенство сторон и неравенство диагоналей.
Перпендикулярность диагоналей и деление их точкой пересечения пополам вытекают как следствие из равенства сторон по свойству равнобедренных треугольников.
Точка А Точка В Точка С
х у х у х у
1 5 7 7 13 5
Длины сторон
AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) = 40 6,32455532
BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) = 40 6,32455532
AC (b) = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) = 144 12
Точка D BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) = 16 4
х у СD = √((xD-xС)² + (yD-yС)²) = 40 6,32455532
7 3 AD = √((xD-xA)² + (yD-yA)²) = 40 6,32455532.
Как видим - все признаки совпали.
Доказано: чотирикутник з вершинами в точках А(1;5),В(7;7),С(13;5) i D(7;3)-ромб.
Это же можно доказать и по векторам.
АВ = (7-1; 7-5) = (6; 2), |AB| = √(36 + 4) = √40.
BC = (13-7; 5-7) = (6; -2), |BC| = √(36 + 4) = √40.
CD = (7-13; 3-5) = (-6; -2), |CD| = √(36 + 4) = √40.
AD = (7-1; 3-5) = (6; -2), |AD| = √(36 + 4) = √40.
Диагонали:
BD = (7-7; 3-7) = (0; -4), |BD| = 4.
AC = (13-1; 5-5) = (12; 0), |AC| = 12.