Question

Две окружности радиусов 1 и 5 касаются. найдите радиус третьей окружности, касающейся первых двух окружностей и прямой, проходящей через центры данных.

Answer 1

Окружность 1 центр О1, радиус R = 5;
Окружность 2 центр О2, радиус r = 1;
Окружность 3 центр О3, радиус x;
Окружности 1 и 2 касаются внутренним образом, так же, как и 1 и 3, окружности 2 и 3 касаются внешним образом. Это можно себе представить еще и так - в окружность 1 вписаны ТРИ окружности - одна радиуса r и две - радиуса x, эти три окружности касаются друг друга внешне, а окружность 1 для них - как бы описанная. Окружности радиуса х касаются как раз в точке на линии O1O2. Пусть точка М - точка касания окружностей радиуса x, тогда она же - точка касания окружности 3 с линией О1О2.
Если рассмотреть два прямоугольных треугольника - первый с вершинами в O1, O3 и М, второй с вершинами О2, О3, М, то легко увидеть, что
О1О2 = R - r; O1O3 = R - x; O2O3 = r + x; O3M = x;
При этом O1O2 = O2M - O1M = √(O2O3^2 - O3M^2) - √(O1O3^2 - O3M^2);
Откуда получается уравнение
R - r = √((r + x)^2 - x^2) - √((R - x)^2 - x^2);
R - r = √((r^2 + 2rx) - √(R^2 - 2Rx);
Метод решения такой - надо просто возвести в квадрат, перенести все члены без корня в левую часть, оставив корень справа, и вновь возвести в квадрат. По дороге много чего сокращается, и получается даже не квадратное уравнение.
x = 4Rr(R - r)/(R + r)^2;
При R = 5; r = 1; x = 20/9;