Question

Существует ли прямоугольный треугольник, у которого точка пересечения медиан лежит на кругу, который вписан в этот треугольник

Answer 1

Пусть a, b - катеты, c - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.

Точка пересечения медиан лежит на медиане к гипотенузе на расстоянии 2/3 её длины от вершины прямого угла. Легко увидеть, что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 и b/3. Соединим эту точку с центром вписанной окружности, которая находится на расстоянии r от обоих катетов. Предположим, что этот отрезок равен r - и сразу получается соотношение.

(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2; 

(a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0;

Подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;

c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0;

r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0;

(r/c)^2 + 2*(r/c) - 1/3 = 0; Обозначаем r/c = x;

x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1;

поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то

sin(A) + cos(A) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны

1 + sin(2*A) = (4*корень(3)/3 -1)^2;

sin(2*A) = (2 - корень(3))*8/3;

A = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3); 

Мы получили решение, имеющее смысл. Поэтому такой треугольник существует. Между прочим, угол 2*А очень близок к 45 градусам.