Решите!Основанием тетраэдра МАВС служит треугольник АВС, в котором АВ=ВС и АС=2а. Точка О принадлежит АС, отрезок МО перпендикулярен АС и ОА=ОС. Расстояние от точки О до прямой МВ равно а. Вычислите угол между плоскостями АМВ и СМВ. ответ должен быть 90 градусов.
Объяснение:
Проведем ОК⊥МВ. Тогда ОК - расстояние от точки О до прямой МК и ОК = а.
ΔАВС равнобедренный, значит медиана ВО (ОА = ОС по условию) является и высотой,
ВО⊥АС,
МО⊥АС по условию, значит
АС⊥(МОВ).
МВ лежит в плоскости (МОВ), значит МВ⊥АС и ОК⊥МВ по построению, тогда МВ⊥(АКС) и значит ∠АКС - линейный угол двугранного угла между плоскостями (АМВ) и (СМВ).
АО = ОС = АС/2 = а√3, МО - медиана и высота в треугольнике МАС, значит он равнобедренный,
МА = МС.
ΔМАК = ΔМСК по гипотенузе и катету (∠АКМ = ∠СКМ = 90°, МА = МС и МК - общий катет), тогда
АК = КС, значит медиана ОК в равнобедренном треугольнике АКС является и высотой и биссектрисой, т.е. ОК⊥АС и ∠АКС = 2∠ОКС.
ΔОКС: ∠КОС = 90°,
tg∠OKC = OC / OK = a√3 / a = √3
Тогда ∠ОКС = 60°.
∠АКС = 2∠ОКС = 120°