Докажите, что прямоугольник АВСД и треугольник АКД , изображенные на ри-сунке, равновеликие и равносоставленные, если МР средняя линия треугольника АКД.(2б)
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота. Сторона параллелограмма дана ВС=19. Необходимо найти высоту h. Вообще-то она равна 14, т.е. удвоенное расстояние от точки К до стороны АВ. Надо доказать,что расстояние от точки К до стороны ВС равно расстоянию от точки К до стороны АВ. Соединим концы биссектрис углов А и В и обозначим буквами M и N. Полученная фигура ABNM - ромб. Доказывается равнобедренность треугольников ABN и AMN через равенство противолежащих углов. Проведем перпендикуляры из точки К к сторонам ВС и AD. Они равны как высоты равных треугольников и равны расстоянию от точки К к стороне АВ, т. е. равны 7. Таким образом высота параллелограмма равна 14. Площадь равна 14*19
В треугольнике АВС отношение АР:РС=2:3. Высота у треугольников АВР и ВРС общая, значит, точка Р делит площадь треугольника АВС на два в отношении 2:3 Площадь одной части этого отношения равна 35:(2+3)=7, и площадь ∆ АВР=2*7=14 Пусть в треугольнике АВР точка пересечения биссектрисы АК и отрезка ВР будет Н. Так как ВН=НР, АН - медиана и делит площадь ∆АВР пополам (свойство). Тогда площадь ∆ АВН=14:2=7 Биссектриса угла треугольника делит противоположную углу сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). ⇒ Так как АВ:АС=2:5, то ВК:КС= 2:5 Высота из А в треугольниках АВК и АКС одна и та же, следовательно, площади треугольников АВК и АКС относятся как 2:5. Отсюда площадь ∆ АВК=35:(2+5)*2=10 Т.к. площадь АВН=7, то Ѕ ∆ ВНК=Ѕ ∆ АВК-Ѕ ∆ АВН=10-7=3 В треугольнике ВРО отрезок НК || РО, и ВН=НР, поэтому НК его средняя линия. Треугольники ВНК иВРО подобны, k=1/2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.⇒ Ѕ∆ ВНК:Ѕ ∆ ВРО=k²=1/4 Тогда площадь ∆ ВОР=4 площади ВНК и равна 3*4=12 Площадь четырехугольника АВОР равна Ѕ ∆ АВР+Ѕ ∆ВРО=14+12=26 (ед. площади)
Сторона параллелограмма дана ВС=19.
Необходимо найти высоту h.
Вообще-то она равна 14, т.е. удвоенное расстояние от точки К до стороны АВ.
Надо доказать,что расстояние от точки К до стороны ВС равно расстоянию от точки К до стороны АВ.
Соединим концы биссектрис углов А и В и обозначим буквами M и N.
Полученная фигура ABNM - ромб. Доказывается равнобедренность треугольников ABN и AMN через равенство противолежащих углов.
Проведем перпендикуляры из точки К к сторонам ВС и AD. Они равны как высоты равных треугольников и равны расстоянию от точки К к стороне АВ, т. е. равны 7. Таким образом высота параллелограмма равна 14.
Площадь равна 14*19