Question

Дан куб abcda1b1c1d1 с ребром 1. найдите расстояние от вершины а до плоскости а1вт, где т-середина ребра аd

Answer 1

Обычным методом (не координатным) тут надо немного потрудиться :) Пирамида A1BTA имеет объем V = AA1*AB*AT/6 = 1/12; если найти площадь треугольника A1TB, то и высота пирамиды к этой грани найдется :).
Эту площадь легче всего искать так. Пусть М - середина А1В = √2, поскольку A1T = BT, то ТМ - высота А1ВТ к А1В. ТМ находится из треугольника МАТ, АТ = 1/2; MA =√2/2; => МТ = √3/2; 
Площадь А1ВТ = S = А1В*ТМ/2 = √2*√3/4 = √6/4;
отсюда h = 3*V/S = (3/12)/(√6/4) = 1/√6;

Для сравнения - координатный метод дает ответ сам собой.
Уравнение плоскости 2x+y+z =1 пишется сразу (это уравнение плоскости "в отрезках", как оси расположены - очевидно - AD это ось X и так далее); ортогональный вектор (2,1,1) имеет норму √6; то есть уравнение плоскости имеет вид nr = 1/√6; где r = (x,y,z); единичный вектор нормали n = (2/√6, 1/√6, 1/√6); в правой части стоит искомое расстояние от начала координат - точки А (0,0,0) до плоскости.

Answer 2

Пока делала рисунки и решала, решение дали. Но второе решение с рисунками не повредит. 
 Плоскость, расстояние до которой от А следует найти - это плоскость ТВА₁.
Расстояние от точки до плоскости измеряется перпендикуляром, проведенным из этой точки к плоскости. 
Искомое расстояние - отрезок АК, перпендикулярный плоскости ТВА₁. 
Рассмотрим рисунок. 
ТВ отсекает от основания куба 1/4 часть.
 Площадь треугольника АТВ=1*1:4=1/4
 Фигура АТВА₁ - пирамида с основанием ТВА₁ и высотой АК, которая является и расстоянием от А до плоскости ВТА₁.
В вершине А пирамиды сошлись части ребер трёх граней куба.
 Объем этой пирамиды S АВТ*АА₁:3=1/3*(1*1/4)=1/12 объема куба.
 Рассмотрим треугольник ВТА₁ -основание этой пирамиды.
 Он равнобедренный: ТА₁=ТВ
 ВА₁ - диагональ боковой грани - квадрата со стороной 1 и равна ВА₁=√2
ТА₁=ВТ
 По теореме Пифагора 
 ТВ²=АВ²+АТ²=1,25
  ТВ=√1,25=0,5√5=≈1,12 V=Sh:3=1/12
S треугольника ВТА₁ по формуле Герона равна ≈ 0,61354 
Высота пирамиды вычисляется из формулы объема: 
h=3V:S=1/4:0,61354=0,25:0,61354=0,407 
Искомое расстояние от А до плоскости сечения ≈0,407