Question

Впрямоугольную трапецию вписана окружность, точкой касания делящая большее основание на отрезки 3 см и 9 см. найти площадь трапеции.

Answer 1

Так как касательные проведенные с одной точки равны , то  есть  AM=AL ; BZ=Bl итд
то AM=3 по условия, а так как радиус у нас равные то BL=3, следовательно BZ=3, и того AB=3+3=6; По теореме радиус окружности равен  среднему геометрическому между отрезками которое точка касания делит боковую сторону , то есть r=√CN*ND
r=3, так как Высота ||AB а радиус равен половине высоте =6/2=3
3=√CN*9
CN=1
то есть меньшее основание равна 1+3=4
Площадь равна произведению оснований S=12*4=48

Answer 2

Чертеж к задаче во вложении.
Наша цель - найти $S_{mpan}=\dfrac{BC+AD}{2}*AB$
По свойству отрезков касательных из одной точки к окружности получим равенства: АЕ=АМ=ВМ=ВТ=3, ДЕ=ДК=9, СТ=СК
Т.к. окружность вписанная, то СО и ДО -биссектрисы углов. Как известно, они пересекаются под прямым углом.
Из прямоугольного ∆ДОC по свойству высоты, проведенной к гипотенузе:
$OK^2=CK*KD = CK=\frac{OK^2}{KD}=\frac{9}{9}=1\\\\ BC=3+1=4\\\\ S=\frac{4+12}{2}*6=48$