Question

Разверткой боковой поверхности конуса является сектор ВАС, длина радиуса которого равна 6 см, а градусная мера дуги равна 60°. Точка Т лежит на отрезке АВ так, что АТ : TB = 1:2 (рис. 56, б). Вычислите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через точку Т и параллельной плоскости основания конуса.​

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать понятие подобия фигур.

Заметим, что треугольник ABS является прямоугольным, так как угол В равен 90 градусов (угол на окружности, вписанный в половину дуги - прямой угол). Поэтому у нас будет использоваться теорема Пифагора.

Поскольку AT : TB = 1 : 2, мы можем предположить, что AT = x, а TB = 2x.

Из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике ABS мы можем записать:

AS² = AB² - BS²

BS является радиусом сектора ВАС, который равен 6 см. Также из секрета боковой поверхности конуса мы знаем, что длина дуги равна 60 градусов. 60 градусов это 1/3 полного оборота (360 градусов), значит длина дуги равна 1/3 от окружности, то есть 2πR/3, где R - радиус сектора. Подставляя R = 6 см в данное уравнение, мы получаем:

BS = 2πR/3 = 2π * 6/3 = 4π

Теперь, подставляя значения AB = 2x+4π и BS = 4π в формулу для AS², мы получаем:

AS² = (2x+4π)² - (4π)²

Раскрывая скобки и упрощая, мы получаем:

AS² = 4x² + 16πx + 16π² - 16π²

16π² сокращаются, и у нас остается:

AS² = 4x² + 16πx

Теперь мы можем вычислить AS, зная, что это длина стороны квадрата, на которую может быть разделена площадь сечения конуса, плоскостью, параллельной плоскости основания конуса.

Для этого мы можем использовать формулу AS = √(4x² + 16πx).

Таким образом, мы получаем площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через точку Т и параллельной плоскости основания конуса, равной S = AS².

Надеюсь, это поможет вам понять задачу и решить ее. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.