Question

Даны вершины тетраэдра а(1,2,1), b(2,-3,4), c(-4,5,1), d(-1,2,-3). найти: 1).длину ребра ав 2)угол между ребрами ав и аd 3)угол между ребром ad и плоскостью ab 4)объем тетраэдра abcd 5) урвнение ребра ab 6) уравнение плоскости abcd 7) уравнение высоты,опущенной из d на abc 8)проекцию точки d на abc 9) длину высоты do

Answer 1

1) Вектор АВ=(1,-5,3) ,  |AB|=$\sqrt{1+25+9}= \sqrt{35}$
5) Уравнение АВ (канокическое): 
$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z-1}{3}$
2)Вектор АD=(-2,0,-4) , |AD|=$\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\AB\cdot{AD}=-2+0-12=-14\\cos(AB,AD)=cos \alpha =\frac{-14}{\sqrt{35}\cdot{2\sqrt{5}}}=\frac{-7}{5\sqrt{7}}}=-\frac{\sqrt{7}}{5} , \alpha = \pi -arccos\frac{\sqrt{7}}{5}$
4)Объём пирамиды равен $V=\pm\frac{1}{6}(AB,AC,AD)$
(AB,AC,AD) - смешанное произведение векторов = определителю 3-го порядка.
АВ=(1,-5,3), АС=(-5,3,0),A=(-2,0,-4).Составим определитель:
$\left[\begin{array}{ccc}1&-5&3\\-5&3&0\\-2&0&-4\end{array}\right]=1\cdot{(-12-0)+5(20-0)+3(0+6)=106$
V=106/6
6)Ищем нормальный вектор плоскости АВС как векторное произведение векторов АВ и АС:
$[AB,AC]= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-5&3\\-5&3&0\end{array}\right]=i(0-9)-j(0+15)+k(3-25)=$
$=-9i-15j-22k , n=(9,15,22)$
Уравнение плоскости АВС:
9(х-1)+15(у-2)+22(z-1)=0,
9x+15y+22z-61=0
7) Уравнение высоты из точки D на пл. АВС.Направляющим вектором для DO будет нормальный вектор пл.АВС, тогда имеем каноническое уравнение DO:
$\frac{x+1}{9}=\frac{y-2}{15}=\frac{z+3}{22} , \left \{ {{x=9t-1} \atop {y=15t+2} }\atop {z=22t-3} }\right.$
8) Проекцию точки D на пл.АВС найди как пересечение прямой DO и пл.АВС, используя параметрическое уравнение DO.
9(9t-1)+15(15t+2)+22(22t-3)-61=0
81t+225t+484t-106=0
790t=106, t=106/790=53/395
Точка пересечения имеет координаты: х=9*(53/395) -1=...,у=15*(53/395)+2=...
z=22*(53/395)-3=...