Question

Найти косинусы острых углов прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанной окружности относится к радиусу вписанной окружности, как 5: 2.

Answer 1

Мое решение не соответствует уровню 5-9 кл., который заявил Автор, но предложу как вариант.

Чертеж мне  принципе не нужен - он мало информативен, но прилагаю.
1. По теореме синусов  $\frac{c}{sinC} = \frac{b}{sinB} = \frac{a}{sinA}=2R$
Тогда
$c=2Rsin90^o=2R,\ b=2RsinB,\ a=2RsinA$
2. Для прямоугольного треугольника справедлива формула $r=\frac{a+b-c}{2}$
$r=\frac{2R(sinA+sinB-1)}{2}$
3. Из условия следует. что 2R=5r. Поэтому
$r=\frac{5r*(sinA+sinB-1)}{2}\ = sinA+sinB-1=\frac{2}{5}\\ sinA+sinB=\frac{7}{5}\\$
4. Для острых углов А и В прямоугольного треугольника в силу формул приведения верны равенства: sin А = cos B и sin B  = cos A. Тогда
$sinA+cosA=\frac{7}{5}\\ \sqrt2cos(A-45^o)=\frac{7}{5}\\ cos(A-45^o)=\frac{7}{5\sqrt2}\\ A=45^o+arccos\frac{7}{5\sqrt2}$
5. Для отыскания косинусов острых углов займемся тригонометрией:
$cosA=cos(45^o+arccos\frac{7}{5\sqrt2})=\\=cos45^o*cos(arccos\frac{7}{5\sqrt2})-sin45^o*sin(arccos\frac{7}{5\sqrt2})=$
$=\frac{\sqrt2}{2}*\frac{7}{5\sqrt2}-\frac{\sqrt2}{2}*sin(arccos\frac{7}{5\sqrt2})=\\=\frac{7}{10}-\frac{\sqrt2}{2}*\sqrt{1-(\frac{7}{5\sqrt2})^2}}=\\=\frac{7}{10}-\frac{\sqrt2}{2}*\frac{1}{5\sqrt2}=\\ =\frac{7}{10}-\frac{1}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\\\\ cosB=sinA=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$
ответ: cosA=3/5; cosB=4/5.

P.S. Полученный ответ (пифагорова тройка) наводит на мысль, что существует более простое решение.