1. Отрезок FK пересекает прямую РМ
2. При пересечении двух прямых, образуются смежные, а также вертикальные углы. Смежные углы это те, которые на одной прямой, а прямая у нас 180°. Поэтому, мы от 180° отнимаем известный нам угол (58°), находим смежный ему угол (122°). Остальные углы они являются вертикальными по отношению к этим. Поэтому, тот угол, который напротив угла в 58° равен 58°. А тот который напротив 122°,равен 122°.
3. K-середина отрезка CD, то следует что CK и KD равны, а значит 8:2=4см--CK, KD. CM=MK то 4:2=2см--CM,MK. ответ: CM=2cm; MK=2cm; KD=8cm.
Объяснение:
4. одна сторона х, другая х+12, полупериметр 64/2=32, отсюда уравнение. х+х+12=32, х=20/2=10, одна сторона 10 см, другая 32-10=22/см/.
ответ 10см и 22 см
52. Меньшая диагональ лежит против угла в 60°, значит, треугольник, образованный меньшей диагональю и двумя сторонами ромба, равны между собой, т.к. два других угла в этом треугольнике тоже 60°, и он получается правильным, тогда меньшая диагональ равна длине стороны ромба 80/4=20/см/, т.к. все стороны ромба равны между собой.
ответ 20см
6. Рассмотрим треугольник, составленный из диагонали, меньшей и большей сторон прямоугольника. Меньшая сторона лежит против угла в 90°-60°=30° и равна половине гипотенузы, которой является диагональ прямоугольника, значит, меньшая сторона равна 4/2=2/см/
ответ 2см
7. одна. меньшая сторона х, большая х+7, полупериметр 54/2=27, тогда х+х+7=27, х=20/2=10, одна сторона 10 см, другая 10+7=17/см/
ответ 10 см и 17 см
8. /единственная задача, в которой есть именованные величины, но заранее прощения за невозможность поставить рисунок, у меня не работает вложение, в которое можно отправить рис./, поэтому убедительная нарисовать самостоятельно рис. я рассказываю, как. Берете вершину А, проводите АЕ, Е лежит на ВС, а дальше все легко. если обозначим ЕС за х, то ВЕ=3х, Но т.к. биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°, то в треугольнике АВЕ углы А и Е по 45°, значит, ВЕ=АВ=3х, тогда сторона ВС=х+3х=4х. т.е. две стороны в прямоугольнике по 3х, и две по 4х, отсюда уравнение
2*(3х+4х)=42; х=42/14=3 одна сторона 3*3=9/ см/, другая , смежная ей 4*3=12/см/
ответ 9см, 12 см
9. Расстояние между противоположными сторонами - высота ромба. Значит, в треугольнике, образованном высотой, стороной и проекцией стороны на другую сторону, один угол 90°, а тот, что лежит против высоты в 15 см, равен 30°, т.к. высота в 2 раза меньше стороны ромба в30см/ это гипотенуза в указанном треугольнике/. Т.о., углы ромба - острые по 30°, тупые по 180°-30°=150°, большая диагональ лежит против 150°, значит, у треугольников, на которые эта диагональ делит ромб, такие углы:150°; и два угла по (180°-150°)/2=15°, или попроще, диагональ является биссектрисой внутренних углов, поэтому опять таки 30°/2=15°- это острые углы указанных треугольников.
ответ 150°, 15°,15°
Это все - отношение площадей, к примеру, если диагональ ВD, то площадь ABD S = a*b*sin(A)/2; а площадь BDC S/6 = c*d*sin(C)/2; а для вписанных четырехугольников сумма углов A и C равна 180°, то есть их синусы равны)
если перемножить, получится с = a/6 = 8;
отсюда b/d = 1; то есть b = d; а поскольку a + c = b + d; сразу находится
b = d = 28;
Легко видеть, что ABCD - равнобедренная трапеция, так как углы ADB и CBD равны - они опираются на равные хорды описанной окружности.
То есть AD II BC, и углы A = D; B = C = 180° - A;
Дальше все элементарно.
Проекция боковой стороны АВ на AD равна (48 - 8)/2 = 20; (если ВН высота, то АН = 20)
Отсюда высота BH = 8*√6; (кстати, это диаметр вписанной окружности)
tg(A) = BH/AH = 2*√6/5; tg(B) = - tg(A);
Найти R - радиус описанной окружности, технически не сложно. Нужно найти диагональ BD по теореме косинусов для треугольника ABD, а потом найти R из теоремы синусов для этого же треугольника. При этом известно, что
cos(A) = AH/AB = 5/7; sin(A) = BH/AB = 2*√6/7;
отсюда
BD^2 = 48^2 + 28^2 - 2*48*28*(5/7) = 1168; BD = 4*√73;
2*R*(2*√6/7) = 4*√73;
R = 7*√(73/6); ну, тут уж ничего не поделать. :)
В качестве проверки :) Для вписанного и описанного четырехугольника (одновременно!)
S^2 = a*b*c*d;
а для вписанного четырехугольника справедливо еще и такое соотношение
16*S^2*R^2 = (a*b + c*d)*(b*c+a*d)(a*c + b*d);
то есть
R^2 = (a*b + c*d)*(b*c+a*d)(a*c + b*d)/(16*a*b*c*d) =
= (48*28 + 8*28)*(28*8 + 48*28)*(48*8 + 28^2)/(16*48*28*28*8) = 7*√(73/6); :