Втреугольнике abc известно, что ab=c, ac=b (b> c), ad = биссектриса. через точку d проведена прямая, перпендикулярная ad и пересекающая ac в точке e. найдите ae.
Такое изящное решение :) Из точки А выходят три луча - AD и два симметричных (то есть образующих с лучом AD равные углы) AC и AB. На луче АС, помимо точки E, такой, что ED перпендикулярно AD, надо отметить точку B1, так, что AB1 = AB; точно так же можно на продолжении луча AB отметить точки E1 и C1, симметричные точка Е и С относительно AD. Ясно, что отрезок B1C1, проходящий через точку D, симметричен отрезку BC, и угол CDE = угол E1DB = угол EDB1; то есть в треугольнике B1DC DE - биссектриса, и CE/EB1 = CD/DB1; но DB1 = DB, и CD/DB = b/c; Если для простоты записи теперь обозначить СЕ = z; EB1 = y; AE = x; то x + z = b; x - y = c; z/y = b/c; Собственно, все уже решено. Осталось последовательно исключить сначала z, потом y, и останется выражение для x, который и надо найти. z = y*b/c; y = x - c; x + b*(x - c)/c = b; x = 2*b*c/(b + c);
Для доказательства равенства отрезков следует доказать равенство треугольников, образованных указанными отрезками, высотой равнобедренного треугольника,которая как раз соединяет вершину равнобедренного треугольника и середину основания, и сторонами равносторонних треугольников, построенных на сторонах равнобедренного треугольника. Доказательство проводится через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Стороны равны по условию и построению, а углы равны по условию и по тому, что высота в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота. Сторона параллелограмма дана ВС=19. Необходимо найти высоту h. Вообще-то она равна 14, т.е. удвоенное расстояние от точки К до стороны АВ. Надо доказать,что расстояние от точки К до стороны ВС равно расстоянию от точки К до стороны АВ. Соединим концы биссектрис углов А и В и обозначим буквами M и N. Полученная фигура ABNM - ромб. Доказывается равнобедренность треугольников ABN и AMN через равенство противолежащих углов. Проведем перпендикуляры из точки К к сторонам ВС и AD. Они равны как высоты равных треугольников и равны расстоянию от точки К к стороне АВ, т. е. равны 7. Таким образом высота параллелограмма равна 14. Площадь равна 14*19
Из точки А выходят три луча - AD и два симметричных (то есть образующих с лучом AD равные углы) AC и AB. На луче АС, помимо точки E, такой, что ED перпендикулярно AD, надо отметить точку B1, так, что AB1 = AB; точно так же можно на продолжении луча AB отметить точки E1 и C1, симметричные точка Е и С относительно AD. Ясно, что отрезок B1C1, проходящий через точку D, симметричен отрезку BC, и угол CDE = угол E1DB = угол EDB1; то есть в треугольнике B1DC DE - биссектриса, и CE/EB1 = CD/DB1; но DB1 = DB, и CD/DB = b/c;
Если для простоты записи теперь обозначить СЕ = z; EB1 = y; AE = x; то
x + z = b;
x - y = c;
z/y = b/c;
Собственно, все уже решено. Осталось последовательно исключить сначала z, потом y, и останется выражение для x, который и надо найти.
z = y*b/c;
y = x - c;
x + b*(x - c)/c = b;
x = 2*b*c/(b + c);