Question

Треугольник abc- равнобедренный, ab=bc=5, ac=4. найти периметр ортотреугольника.

Answer 1

Треугольник АВС равнобедренный , стороны равны 5 5 и 4 
треугольник DEF  ортотреугольник, то есть образован пересечениями всех трех высот , тогда найдем длин каждой стороны!
Найдем с начало длину АЕ , высоту проведенной к боковой стороне, так как площадь треугольника равна S=ah/2 ; то найдем площадь треугольника зная основание и потом высоту, и выразим через другую сторону высоту 
BF = √5^2-2^2 = √21 
тогда с одной стороны  S=2√21 , с другой 
S=5*AE/2 
AE=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$ .
так как наш треугольник равнобедренный то высоты проведенные к боковым сторонам равны AE=CD
Найдем теперь стороны нашего ортотреугольника 
для это найдем угол ABC
по теореме косинусов 
$4^2=2*5^2-2*5^2*cosABC\\ cosABC=\frac{17}{25}$
BE=BC-EC
EC=√AC^2-AE^2 = $\sqrt{4^2-(\frac{4\sqrt{21}}{5})^2}=1.6$
BE=5-1.6=3.4
по теореме косинусов 
DE=$\sqrt{2*3.4^2-2*3.4^2*cosABC} = 2.72$
$5^2=5^2+4^2-2*5*4*cosBAC\\ cosBAC=\frac{2}{5}$
DF=$\sqrt{1.6^2+2^2-2*2*1.6*\frac{2}{5}}=2$
значит EF=2
и того  P=2+2+2.72= 6.72