В ромбе одна из диагоналей равна 48 см, высота 28,8 см. Найти остальные элементы ромба. Вариант решения. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности с центром О в точке пересечения диагоналей. Проведенная через О высота делится пополам. Диагонали ромба делят его на 4 прямоугольных треугольника. В треугольнике АОД катет АО=АС:2=24 Высота ОН треугольника АОД равна 28,8:2=14,4 По т.Пифагора АН=19,2 (проверьте) Высота, проведенная к гипотенузе - среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Иными словами, квадрат высоты прямоугольного треугольника равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. ОН²=АН*НД 207,36=19,2*НД НД=10,8 ОД - катет прямоугольного треугольника. НД - его проекция на гипотенузу. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. ОД²=АД*НД АД=10,8+19,2=30 см ОД²=30*10,8=324 ОД=√324=18 смс ВД=18*2=36 Сторона ромба равна 30, диагональ ВД=36 Угол А=2∠ОАД синус∠ОАД=ОД:АД=18:30=0,6 по т.Брадиса этот угол ≈36º50’ Угол А=∠С ≈73º40’ Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º Угол В=∠Д=180º-73º40’≈106º20'
Окружность с центром О₁ касается прямой в точке А, радиус окружности О₁А=О₁К. Окружность с центром О₂ касается прямой в точке В, радиус окружности О₂В=О₂К. Через точку К проведем общую касательную к 2 окружностям, которая пересекает АВ в точке Е. а) Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Значит АЕ=ЕК и ВЕ=ЕК, тогда АЕ=ВЕ. Получается, что ЕК - медиана ΔАВК и ЕК=АВ/2, значит ΔАВК прямоугольный (угол АКВ - прямой) Следовательно, прямые ВД и АС пересекаются под прямым углом, значит вписанные <АКД=<ВКС=90°. А т.к. вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр, то значит АД и ВС - это диаметры окружностей. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, тогда АД ⊥АВ, ВС⊥АВ. Значит АД || ВС (две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны), ч.т.д. б) По условию радиус окружности О₁А=О₁К=1, а радиус окружности О₂В=О₂К=4. Диаметры АД=2, ВС=8 Прямоугольные ΔАКД и ΔСКВ подобны по острому углу (<ДАК=<ВСК как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АС). Значит АК/КС=ДК/КВ=АД/ВС=2/8=1/4 Из прямоугольного ΔДАВ, в котором АК - высота из прямого угла на гипотенузу ВД: АК²=ДК*КВ=ДК*4ДК=4ДК² АК=2ДК Из прямоугольного ΔДАК: АД²=ДК²+АК²=ДК²+4ДК²=5ДК² ДК=АД/√5=2/√5 АК=4/√5 КС=4АК=16/√5 Площадь Sдак=АК*ДК/2=4/√5 * 2/√5 / 2=4/5 У ΔДАК и ΔДАС одинаковые высоты из вершины, значит их площади Sдак/Sдас=АК/АС=4/√5 / 20/√5=1/5 Sдас=5Sдак=5*4/5=4 Sдкс=Sдас-Sдак=4-4/5=16/5=3,2 ответ: 3,2
Вариант решения.
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности с центром О в точке пересечения диагоналей.
Проведенная через О высота делится пополам.
Диагонали ромба делят его на 4 прямоугольных треугольника.
В треугольнике АОД катет АО=АС:2=24
Высота ОН треугольника АОД равна 28,8:2=14,4
По т.Пифагора АН=19,2 (проверьте)
Высота, проведенная к гипотенузе - среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Иными словами, квадрат высоты прямоугольного треугольника равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.
ОН²=АН*НД
207,36=19,2*НД
НД=10,8
ОД - катет прямоугольного треугольника. НД - его проекция на гипотенузу.
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. ОД²=АД*НД
АД=10,8+19,2=30 см
ОД²=30*10,8=324
ОД=√324=18 смс
ВД=18*2=36
Сторона ромба равна 30, диагональ ВД=36
Угол А=2∠ОАД
синус∠ОАД=ОД:АД=18:30=0,6
по т.Брадиса этот угол ≈36º50’
Угол А=∠С ≈73º40’
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º
Угол В=∠Д=180º-73º40’≈106º20'