только 11
Объяснение:
Пусть D-точка касания вневписанной окружности со стороной BC, E-вписанной окружности со стороной BC, F-вписанной окружности со стороной AC, G-вневписанной окружности со стороной AC, H-вневписанной окружности, касающейся BC, с прямой AB, I-вневписанной окружности, касающейся BC, с прямой AC, J-вписанной окружности со стороной AB, O-центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC.
По условию BC=10, DE=2, FG=3. Пусть EC=x. Тогда BD=8-x, CF=x (EC=CF как отрезки касательных). Пусть AG=y. Выпишем равные отрезки касательных:
EC=CF=x
CD=CI=x+2
AF=AJ=y+3
BH=BD=8-x
BJ=BE=10-x
Заметим, что четырехугольник AHOI вписанный, так как ∠AHO=∠OIA=90° (радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной). При этом HO=OI и ∠HAO=∠IAO. Значит, AH=AI.
AH=AI
AJ+JB+BH=AF+FC+CI
(3+y)+(10-x)+(8-x)=(3+y)+x+(x+2)
Отсюда x=4. Осталось найти y. Сделаем это через подобие.
Пусть P-центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC.
P, C, O лежат на одной прямой, так как CO-биссектриса BCI, CP-биссектриса угла, вертикального углу BCI.
Значит, треугольники ODC и PGC подобны. Пусть r- радиус вневписанной окружности, касающейся стороны BC, R- радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC, i-радиус вписанной окружности. Тогда из подобия
DC/CG=OD/PG
(x+2)/(x+3)=r/R
Так как x=4, r/R=6/7.
Пусть Q-центр вписанной окружности.
Теперь заметим, что следующие пары треугольников подобны: BOD, QBE и APG, OAF. Докажем, что BOD, QBE подобны, доказательство для второй пары треугольников аналогично. Эти треугольники прямоугольны, а ∠BOD=∠QBE, потому что ∠QBE=1/2∠ABC, так как Q-центр вписанной окружности, и ∠BOD=1/2∠ABC, так как HBDO-вписан (∠BHO=∠ODB=90°), ∠HOD=180°-∠HBD=∠ABC, а OB-биссектриса HOD, потому что HB=BD как отрезки касательных.
Из подобия BOD, QBE
BD/OD=QE/BE
(8-x)/r=i/(10-x)
ri=(8-x)(10-x)=4*6=24
Из подобия APG, OAF
AG/PG=OF/AF
y/R=i/(3+y)
iR=y(3+y)
Получили два равенства. Разделим одно на другое.
r/R=24/(y(y+3))
До этого мы вывели, что r/R=6/7.
6/7=24/(y(y+3))
y(y+3)=28
y^2+3y-28=0
y=4 либо y=-7. Длина отрезка неотрицательна, поэтому y=4.
Значит, AC=CF+FG+GA=x+3+y=4+3+4=11.
S₍осн₎ = 3√7
S₍бок₎ = 140
S₍полн₎ = 140 + 6√7
Объяснение:
Дано: треугольная прямая призма ABCA₁B₁C₁; основание призмы - равнобедренный треугольник со сторонами 4(боковая сторона) и 6(основание); боковое ребро призмы - 10.
РЕШЕНИЕ
В основании призмы лежит равнобедренный треугольник. Обозначим его за ΔِABC ( где A - вершина, то есть AB=AC=4 - боковые стороны, BC=6 - основание). Опустим в этом ΔِABC высоту AE ( AE ⊥ BC). По свойству равнобедренного треугольника, высота AE (как высота, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на его основание), является {также} медианой (и биссектрисой) и делит основание BC пополам (BE = CE = BC/2 = 6/2 = = 3). Из треугольника ΔAEC ( где ∠AEC = 90° ), по теореме пифагора:
AE² = AC² - CE² ⇒ AE = √(AC² - CE²) = √(4² - 3²) = √(16 - 9) = √7
AE = √7
Находим площадь основания призмы:
S₍осн₎ {как площадь треугольника SΔ} = 1/2 * a * hₐ = 1/2 * BC * AE = 1/2 * 6 * √7 = 3√7
S₍осн₎ = 3√7
Боковые ребра призмы - прямоугольники. Если их обозначить за S₍бок₁₎ = S₍AA₁CC₁₎ = S₍AA₁BB₁₎ и S₍бок₂₎ = S₍BB₁CC₁₎, то
S₍бок₎ = 2S₍бок₁₎ + S₍бок₂₎ = 2*(10 *4) + 10 * 6 = 80 + 60 = 140
S₍бок₎ = 140
Общая же поверхность равняется:
S₍полн₎ = S₍бок₎ + 2S₍осн₎ = 140 + 2*3√7 = 140 + 6√7
S₍полн₎ = 140 + 6√7
*Замечание: в данной задаче (при желании) площадь основания (как площадь треугольника) также можно найти по формуле Геррона.
*Замечание: при решении рекомендуется сделать чертёж: это существенно упростит выполнение задания.
лох