Проводим CE II BD, точка E лежит на продолжении AD.
Ясно, что AE = AD + ВС, поэтому площадь треугольника АСЕ равна площади трапеции (у них общая высота - расстояние от С до AD, - и средние линии равны).
Пусть К - середина АЕ. Легко видеть, что QK = (AD + ВС)/2 - AD/2 = BC/2, то есть РСКQ - параллелограмм. Поэтому CK = PQ = 13/2 - медиана прямоугольного треугольника АСЕ, проведенная к гипотенузе АЕ. Поэтому АЕ = 2*СК = 13. Ну, вот и прорезался Пифагор :))) В данном случае Пифагорова тройка 5,12,13 (кто не понял, это я вычислил СЕ = 5).
Поэтому площадь АВЕ, а, следовательно, и площадь трапеции ABCD, равна 5*12/2 = 30.
Свойство: Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. EF - средняя линия. Значит АEFВ - трапеция, в которой CВ=2ЕF. Свойство: Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон. Итак, ВС+EF=CE+FB. Но EF=(1/2)*ВС, а СЕ+FB=(1/2)*(АВ+АС). Значит (3/2)*ВС=(1/2)*(АВ+АС) или 3ВС=АВ+АС. АВ+АС+ВС=24 (дано). Тогда 4ВС=24, а ВС=6. Sabc=(1/2)*ВC*h=(1/2)*6*8=24.(так как h=2*d=8, поскольку EF - средняя линия и делит h пополам. Половина же высоты - это в нашем случае диаметр вписанной окружности). По Герону: Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c). Или S²=12(12-a)(12-b)(12-6). То есть 24²=12*6*(12-a)(12-b) или 8=(12-a)(12-b). Но a+b+c=24, а с=6, значит a+b=18. тогда b=18-a. Подставляем это значение в выражение 2=(12-a)(12-b) и получаем: 8=(12-a)(а-6). Имеем квадратное уравнение: а²-18а+80=0, откуда а1=10, а2=8 и b1=8, b2=10.
При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° Всего мы получаем две пары внутренних односторонних углов: <1 и <2, <3 и <4 Причем <1 + <2 = 180° <3 + <4 = 180° Тогда <1 + <2 + <3 + < 4 = 180° + 180° = 360° Нам известна сумма трех углов. Найдем четвертый угол: 360° - 235° = 125° Допустим, это <1. Тогда <2 = 180°-125°=55° <2 и <3 - накрест лежащие, по свойству параллельных прямых они равны <2 = <3 = 55° <4 и <1 - также накрест лежащие, следовательно <4 = 125°
чую я, Пифагоровым духом пахнет :
Трапеция ABCD, AD II BC, AD > BC; AC = 12;
P - середина ВС, Q - середина AD, PQ = 13/2;
Проводим CE II BD, точка E лежит на продолжении AD.
Ясно, что AE = AD + ВС, поэтому площадь треугольника АСЕ равна площади трапеции (у них общая высота - расстояние от С до AD, - и средние линии равны).
Пусть К - середина АЕ. Легко видеть, что QK = (AD + ВС)/2 - AD/2 = BC/2, то есть РСКQ - параллелограмм. Поэтому CK = PQ = 13/2 - медиана прямоугольного треугольника АСЕ, проведенная к гипотенузе АЕ. Поэтому АЕ = 2*СК = 13. Ну, вот и прорезался Пифагор :))) В данном случае Пифагорова тройка 5,12,13 (кто не понял, это я вычислил СЕ = 5).
Поэтому площадь АВЕ, а, следовательно, и площадь трапеции ABCD, равна 5*12/2 = 30.