Вправильной четырехугольной призме abcda1d1c1d1 стороны основания равны 3, а боковые ребра 4. на ребре аа1 отмечена точка е так, что ae: ea1=1: 3.найдите угол между плоскостями abc и bed1
Я тут уже решал такую задачу раз 5 с разными числовыми данными. Скорее всего это какая-то задача из вариантов ЕГЭ.
1. Надо построить линию пересечения плоскостей. В плоскости бокового ребра AA1DD1 проводим D1E и прололжаем за точку Е до пересечения с продолжением DA. Пусть это точка К. Треугольник А1ЕD1 имеет стороны A1D1 = 3; A1E = 3; то есть это равнобедренный треугольник. Треугольник АКЕ подобен ему, поэтому АК = АЕ = 1.
Ясно, что точка К принадлежит обеим плоскостям (abc и bed1), как и точка В. Поэтому КВ - линия пересечения abc и bed1.
2. Чтобы найти угол между abc и bed1, для начала сменим [в голове:)] обозначения. Плоскость АВС это плоскость АВК. Плоскость BED1 это плоскость ЕВК. Ищем угол между АВК и ЕВК. Известно, что
АЕ = 1; АВ = 3; AK = 1;
Пусть АН - высота в треугольнике АВК к стороне ВК.
Вычислим ВК = корень(3^2 + 1^2) = корень(10);
AH = AK*AB/BK = 3/корень(10);
Легко увидеть, если провести плоскость перпендикулярно ВК через АЕ, что искомый угол (обозначим его Ф) считается так
Сделаем рисунок для наглядности. Дана площадь параллелограмма со сторонами АВ=4 и АД=5. S=16 Найдем высоту ВН параллелограмма к стороне АД S=ah 16=5h ВН=16:5=3,2 Опустим из вершины С высоту СК к продолжению АД. НВСК - прямоугольник. НК=ВС=5 АС - большая диагональ параллелограмма. Треугольник АСК - прямоугольный. АК=АД+ДК ДК²=СД²-СК² ДК²=16-10,24=5,76 ДК=2,4 АС²=(АД+ДК)²+СК² АС²=(7,4)²+(3,2)²=65 АС=√65 =≈8,06≈8 АН=ДК=2,4 ДН=5-2,4=2,6 ВД²=ВН²+НД² ВД²=(3,2)²+(2,6)²=17 ВД=√17 ≈4,123≈4 ответ:АС≈8, ВД≈4
Площадь параллелограмма = произведению его смежных сторон на синус угла между ними S = AB · BC · sin α = 4*5* sin α =20 * sin α =16 sin α = 16/20=0,8 cos² α = 1 - sin² α = 1 - 0,8² = 1 - 0,64 = 0,36 cos α = +-0,6
Найти большую диагональ, диагональ лежащую против БОЛЬШЕГО угла ⇒ α>90 ⇒ cos α = - 0,6
В ΔАВС Квадрат стороны = сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними АС² = АВ² + ВС² -2 · АВ · ВС ·соs α =5² +4² + 2·5·4·0,6= 65 AC = √65 ≈ 8 - бОльшая диагональ параллелограмма
Я тут уже решал такую задачу раз 5 с разными числовыми данными. Скорее всего это какая-то задача из вариантов ЕГЭ.
1. Надо построить линию пересечения плоскостей. В плоскости бокового ребра AA1DD1 проводим D1E и прололжаем за точку Е до пересечения с продолжением DA. Пусть это точка К. Треугольник А1ЕD1 имеет стороны A1D1 = 3; A1E = 3; то есть это равнобедренный треугольник. Треугольник АКЕ подобен ему, поэтому АК = АЕ = 1.
Ясно, что точка К принадлежит обеим плоскостям (abc и bed1), как и точка В. Поэтому КВ - линия пересечения abc и bed1.
2. Чтобы найти угол между abc и bed1, для начала сменим [в голове:)] обозначения. Плоскость АВС это плоскость АВК. Плоскость BED1 это плоскость ЕВК. Ищем угол между АВК и ЕВК. Известно, что
АЕ = 1; АВ = 3; AK = 1;
Пусть АН - высота в треугольнике АВК к стороне ВК.
Вычислим ВК = корень(3^2 + 1^2) = корень(10);
AH = AK*AB/BK = 3/корень(10);
Легко увидеть, если провести плоскость перпендикулярно ВК через АЕ, что искомый угол (обозначим его Ф) считается так
tg(Ф) = AE/AH = корень(10)/3;