Дан треугольник АВС: АВ=ВС. O- центр вписанной окружности ВО=34 см, ОН=16 см.
ВН - высота равнобедренного треугольника. ВН=50 см
К, Т.Н- точки касания окружности со сторонами треугольника.
ОК,ОН,ОТ - радиусы вписанной окружности
Найти площадь треугольника.
Решение.
Высота равнобедренного треугольника является и биссектрисой и медианой.
Значит АН=НС
Угол АВН равен углу СВН.
Треугольники КВО и ВОТ равны между собой по катету (ОК=ОТ) и острому углу.
Из равенства треугольников ВК=ВТ
По теореме Пифагора ВТ²=ВО²-ОТ²=34²-16²=(34-16)(34+16)=18·50=900
ВТ=30 см
ВК=ВТ=30 см
Центр вписанной окружности- точка пересечения биссектрис.
Треугольник равнобедренный, угол А равен углу С.
Биссектрисы АО и СО делят эти углы пополам.
Углы КАО, НАО, ТСО, НСО равны между собой.
И треугольники КАО, АОН, НОС, СОТ равны между собой по катету и острому углу.
ОК=ОН=ОТ= r - радиусу вписанной окружности.
Из равенства треугольников АК=АН=НС=СТ= х
Рассмотрим треугольник АВН.
По теореме Пифагора АВ²=АН²+ВН²
(30+х)²=х²+50²
900+60х+х²=х²=2500,
60х=1600
х=80/3
АН=80/3
S=1/2 АС·ВН= АН·ВН=80/3 · 50= 4000/3 кв. см
Объяснение:
Пусть дан ΔАВС, В - вершина треугольника, АС - основание ΔАВС,
АВ =ВС, ∠А и ∠С - углы при основании.
1) Внешний угол при вершине равнобедренного ΔАВС (обозначим его как β) и внутренний ∠В - смежные углы, и их сумма равна 180° .
Значит, внешний угол β = 180° - ∠В.
2) сумма углов треугольника = 180 °. Следовательно ,
∠А + ∠ В + ∠С = 180°, откуда ∠ В = 180° - ∠А - ∠С, но т.к. ΔАВС - равнобедренный, и значит, ∠А = ∠С, получаем:
∠ В = 180° - 2∠А
Подставим это выражение в формулу для внешнего угла β, получим:
β = 180° - 180° +2∠А
β= 2∠А, ч. т. д.