1. В основании правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник, а высота проецируется в его центр. SO - высота пирамиды, ОС - проекция SC на плоскость основания, значит ∠SCO - угол наклона бокового ребра к плоскости основания - искомый. ОС - радиус окружности, описанной около правильного треугольника: ОС = АВ√3/2 = 6√3/3 = 2√3. ΔSOC: ∠SOC = 90°, ctg∠SCO = OC / SO = 2√3 / 8 = √3/4
2. Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники. Пусть Н - середина CD, тогда SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SDC, ОН - средняя линия ΔADC, ⇒ ОН║AD, ⇒ OH⊥CD. Значит ∠SHO - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию - искомый. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали, значит АС = 8. АС = АВ√2 ⇒ АВ = АС/√2 = 8 / √2 = 4√2 - сторона квадрата ОН = AD/2 = 2√2 ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos∠SHO = OH / SH = 2√2/7
3. Sбок = 2πRH = 160π см² ⇒ 2RH = 160 см² ABCD - осевое сечение. Sabcd = 2R·H = 160 см² ABEF - сечение, параллельное оси и отстоящее от нее на 6 см. Так как H = R - 2,то 2R(R - 2) = 160 R² - 2R - 80 = 0 D = 4 + 320 = 324 R = (2 + 18)/2 = 10 см R = (2 - 18)/2 = - 8 - не подходит по смыслу задачи H = 10 - 2 = 8 см Если Н -середина ВЕ, то ОН = 6 см - расстояние от оси до сечения. ΔОНВ: ∠ОНВ = 90°, по теореме Пифагора НВ = √(ОВ² - ОН²) = √(100 - 36) = 8 см ВЕ = 2НВ = 16 см Sabef = BE · H = 16 · 8 = 128 см²
4. ΔАВС - данное сечение - равнобедренный треугольник (АВ = АС = l образующие) ∠АВС = ∠АСВ = 75°, ⇒ ∠ВАС = 30°. Sabc = 1/2 · AB · AC · sin ∠BAC = 16 см² l² · sin30° = 32 l² = 64 l = 8 cм ΔАОВ: ∠ВАО = 30° по условию. cos∠BAO = AO/AB cos30° = h/l ⇒ h = l · cos30° = 8√3/2 = 4√3 см r = OB = AB · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см Площадь осевого сечения: Sakc = 1/2 · KC · AO = r · h = 16√3 см² Sполн = πr(l + r) = π · 4 · (8 + 4) = 48π см²
Осевое сечение - это сечение геометрической фигуры, плоскость которой проходит через ось данной фигуры. Сечение конуса, которое проходит через его ось - равнобедренный треугольник, потому как образующие образуют боковые стороны этого треугольника. Имеем равнобедренный треугольник ABC: AB = BC = 2*sqrt(3). CO - высота конуса, которая является и медианой, и биссектрисой в равнобедренном треугольнике, опущенная на основу. Следовательно, угол BCO = углу ACO = 60 градусов. Из прямоугольного треугольника BOC: угол CBO = 90 - 60 = 30 градусов. Катет, который лежит против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы: OB = CB/2, OB = sqrt(3) = R. Найдем высоту конуса. Из теоремы Пифагора: CO^2 = CB^2 - OB^2, CO^2 = 12 - 3 = 9, CO = 3 см = H. Площадь основания конуса - это площадь окружности: S = pi*R^2, S = 3*pi см^2. Объем конуса равен (S*H)/3, V = (3*3pi)/3 = 3pi см^3.
SO - высота пирамиды, ОС - проекция SC на плоскость основания, значит ∠SCO - угол наклона бокового ребра к плоскости основания - искомый.
ОС - радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
ОС = АВ√3/2 = 6√3/3 = 2√3.
ΔSOC: ∠SOC = 90°, ctg∠SCO = OC / SO = 2√3 / 8 = √3/4
2. Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники.
Пусть Н - середина CD, тогда SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SDC, ОН - средняя линия ΔADC, ⇒ ОН║AD, ⇒ OH⊥CD.
Значит ∠SHO - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию - искомый.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали, значит АС = 8.
АС = АВ√2 ⇒ АВ = АС/√2 = 8 / √2 = 4√2 - сторона квадрата
ОН = AD/2 = 2√2
ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos∠SHO = OH / SH = 2√2/7
3. Sбок = 2πRH = 160π см² ⇒ 2RH = 160 см²
ABCD - осевое сечение.
Sabcd = 2R·H = 160 см²
ABEF - сечение, параллельное оси и отстоящее от нее на 6 см.
Так как H = R - 2,то
2R(R - 2) = 160
R² - 2R - 80 = 0
D = 4 + 320 = 324
R = (2 + 18)/2 = 10 см R = (2 - 18)/2 = - 8 - не подходит по смыслу задачи
H = 10 - 2 = 8 см
Если Н -середина ВЕ, то ОН = 6 см - расстояние от оси до сечения.
ΔОНВ: ∠ОНВ = 90°, по теореме Пифагора
НВ = √(ОВ² - ОН²) = √(100 - 36) = 8 см
ВЕ = 2НВ = 16 см
Sabef = BE · H = 16 · 8 = 128 см²
4. ΔАВС - данное сечение - равнобедренный треугольник (АВ = АС = l образующие)
∠АВС = ∠АСВ = 75°, ⇒ ∠ВАС = 30°.
Sabc = 1/2 · AB · AC · sin ∠BAC = 16 см²
l² · sin30° = 32
l² = 64
l = 8 cм
ΔАОВ: ∠ВАО = 30° по условию.
cos∠BAO = AO/AB
cos30° = h/l ⇒ h = l · cos30° = 8√3/2 = 4√3 см
r = OB = AB · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Площадь осевого сечения:
Sakc = 1/2 · KC · AO = r · h = 16√3 см²
Sполн = πr(l + r) = π · 4 · (8 + 4) = 48π см²