Внаклонной треугольной призме расстояние между боковыми ребрами равны 37,15 и 26 см,а боковая поверхность равновелика перпендикулярному сечению.определить боковые ребра.
Перпендикулярное боковым ребрам сечение - это треугольник со сторонами 37, 15 и 26. Если считать его площадь по Герону, она равна 156. Предоставляю это проделать автору задачи.
А вот как это можно сделать без сложных вычислений. Берем прямоугольный треугольник со сторонами 12, 35, 37. От вершины прямого угла вдоль катета 35 откладываем 9 и соединяем с противоположной вершиной - получился прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9 и гипотенузой 15 (подобный "египетскому" со стронами (3, 4, 5)). А вот оставшийся треугольник имеет стороны 15, 37 и 35 - 9 = 26; : (этот треугольник является "разностью" двух Пифагоровых треугольников (12, 35, 37) и (9, 12, 15)). Итак высота к стороне 26 равна 12, и площадь сечения равна 26*12/2 = 156;
Периметр сечения равен 15 + 26 + 37 = 78; поэтому боковое ребро равно 156/78 = 2; (ясно, что боковые грани - параллелограммы имеющие общую сторону - боковое ребро, и высоты к этой стороне как раз равны сторонам треугольника в перпендикулярном сечении. Собственно, это они и есть :))) поэтому площадь боковой поверхности равна периметру перпендикулярного сечения, умноженному на боковое ребро).
ответ 2.
Гораздо более интересный вопрос - а случайно ли, что периметр сечения в 2 раза меньше площади? Это означает, например, что радиус вписанной в него окружности равен 4, то есть выражается целым числом :)))
4. Периметр равнобедренной трапеции: P=a+b+c+d. Проведем две высоты к основанию AD (назовем трапецию ABCD) BH и СР. Угол BAH=60 градусам. Угол BHA=90 градусов. По теореме о сумме углов треугольника 180-(90+60)=30 градусов. Сторона AH лежит напротив угла в 30 градусов, следовательно, она равно половине гипотенузы AB. (Когда мы провели высоты, у нас отрезок HP стал равен малому основанию BC, а так как трапеция равнобедренная, то 26-13=13 см и еще разделим на 2, получим 6,5 см отрезки AH и PD). AP=13=CD по свойству равнобедренной трапеции. Наконец-то найдем периметр: 13+13+13+26= 65 см
Вектор АВ: (1-3=-2; 3-5=-2) = (-2;-2). Вектор АС = -СА = (-1;1). cos(<АВ-АС) = |(2*1-2*1)|/(√(2²+2²)*√(1²+1²) = 0/(√8*√2) = 0. Если косинус равен нулю, то угол равен 90 градусов. Треугольник прямоугольный.
2) Для определения координат центра описанной около треугольника окружности надо решить систему из уравнений двух срединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Но для данной задачи это решается просто - центр находится на середине гипотенузы ВС. Точка О((1+4)/2=2,5;(3+4)/2=3,5) = (2,5; 3,5).
Как всегда, не могу удержаться.
Перпендикулярное боковым ребрам сечение - это треугольник со сторонами 37, 15 и 26. Если считать его площадь по Герону, она равна 156. Предоставляю это проделать автору задачи.
А вот как это можно сделать без сложных вычислений. Берем прямоугольный треугольник со сторонами 12, 35, 37. От вершины прямого угла вдоль катета 35 откладываем 9 и соединяем с противоположной вершиной - получился прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9 и гипотенузой 15 (подобный "египетскому" со стронами (3, 4, 5)). А вот оставшийся треугольник имеет стороны 15, 37 и 35 - 9 = 26; : (этот треугольник является "разностью" двух Пифагоровых треугольников (12, 35, 37) и (9, 12, 15)). Итак высота к стороне 26 равна 12, и площадь сечения равна 26*12/2 = 156;
Периметр сечения равен 15 + 26 + 37 = 78; поэтому боковое ребро равно 156/78 = 2; (ясно, что боковые грани - параллелограммы имеющие общую сторону - боковое ребро, и высоты к этой стороне как раз равны сторонам треугольника в перпендикулярном сечении. Собственно, это они и есть :))) поэтому площадь боковой поверхности равна периметру перпендикулярного сечения, умноженному на боковое ребро).
ответ 2.
Гораздо более интересный вопрос - а случайно ли, что периметр сечения в 2 раза меньше площади? Это означает, например, что радиус вписанной в него окружности равен 4, то есть выражается целым числом :)))