Плоскости АВ1С и АВС по условию образуют двугранный угол ВАСВ1 с ребром АС. Проведём перпендикуляр ВК к АС. Линейным углом этого двугранного угла будет угол В1КВ. Поскольку в прямоугольном треугольнике АВС ВК-высота, получаем два подобных треугольника АВС и ВКС. Отсюда ВК/КС=АВ/ВС=а/2а. Или ВК=1/2 КС. Обозначим ВК=h, КС=Х, отсюда h=Х/2. По теореме Пифагора( Х квадрат)+( Х/2)квадрат=(2а) квадрат. Или( Х квадрат)+(Хквадрат)/4=4*а квадрат. Отсюда Х=4а/(корень из 5). И h=ВК= 2а/(корень из5). Тогда tgв1кв=В1В/ВК=2корня из 5.
Обозначим точку К. Из неё проведём наклонные к плоскости АК и ВС. Проведём перпендикуляр к плоскости КС. Получим треугольник АКС( основание АС) и внутри него треугольник ВКС. По условию АС=3 корня из 3. ВС=4. ВК/АК=5/6. Пусть АК=Х, тогда ВК=(5/6)Х. У этих треугольников общий катет, тогда по теореме Пифагора АКквадрат-АС квадрат=ВК квадрат-ВС квадрат. Или Х квадрат-(3 корня из 3)квадрат=(5/6*Х)квадрат-4 квадрат. Отсюда Х=6. Тогда искомое расстояние КС=корень из(АК квадрат- АС квадрат) =корень из(36-27)=3.
