Пусть сторона куба "а".
Совместим с кубом систему координат: А(0;0;0) - начало координат
ось X вдоль стороны АД; ось Y вдоль стороны АВ; ось Z вдоль стороны АА1.
Тогда координаты вершин будут иметь значения:
А(0;0;0); В(0;а;0); С(а;а;0); D(а;0;0); А1(0;0;а); В1(0;а;а); С1(а;а;а); D1(а;0;а);
вектор AB1 = {0; a; a}
вектор ВD1 = {a; -a; a}
Скалярное произведение этих векторов = 0*а + а * (-а) + а*а = 0
Так как скалярное произведение =0, то векторы перпендикулярны друг другу и угол между ними 90 градусов.
Отв. 90 градусов.
Если АМ=BN, а АВ=ВС по условию, то и МВ=NC. Если от равных отнять равные то получатся равные. То же самое и с другими сторонами. В общем все треугольники равнобедренные и равны между собой по двум катетам. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против углов А, В, С, Д лежат стороны MN, NP, PK, MK. Значит они равны, четырехугольник, как минимум параллелограмм или ромб. Теперь с углами. Во всех равнобедренных треугольниках углы при вершине равны 90. Значит на оставшиеся 2 равные угла приходится по 45 градусов. А теперь рассмотрим Отрезок АМВ в точке М. Угол ВМN равен 45, угол АМК равен 45, значит, на осташийся угол NMK приходится 90 градусов, т.к. 180-45-45=90. То же и с другими вершинами N,P,K. Получается в MNPK все стороны равны и углы прямые, значит это квадрат, что и требовалось доказать. Удачи!