ответ: 1200π
Объяснение:
Формула объёма прямой призмы V=S•H, где Ѕ - площадь основания, Н - высота призмы.
Высота призмы равна высоте вписанного цилиндра, которая, в свою очередь, равна его оси. Ось цилиндра параллельна боковой грани призмы, диагональ боковой грани принадлежит её плоскости. Эти два отрезка не пересекаются и не параллельны - они скрещиваются. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.
Окружность основания цилиндра касается боковой грани призмы, радиус перпендикулярен стороне основания, поэтому расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно радиусу цилиндра.
Ѕ(полн. цил)=2Ѕ (осн)+Ѕ(бок).
Ѕ(осн)=πr²=π•(5√2)²=50π ⇒2S=100π
Ѕ(бок)=106π-100π=6π
Ѕ(бок)=2πr•H ⇒ H=6π:2π•5√2=0,3√2
Высота ВК основания (ромба) равна диаметру основания цилиндра=2r=10√2
Сторона ромба АВ=ВС=ВК:sin45°=(10√2•√2):2=20
S(ABCD)=AB•AC•BK=200•10√2=2000√2
V=π•2000√2•0,3√2=1200π
Сначала как раз про уравнения. Чтобы было понятно, в чем тут китайская хитрость.
Смотрите чертеж, левый рисунок. a = 900; b = 300; z = x/a; t = b/a;
В общем случае задача сводится к кубическому уравнению (раз просили - без уравнений, то и не буду я показывать, как это получается).
z^2*(z + t) = 4*t;
здесь по условию t = 1/3;
z^2*(z + 1/3) = 4/3;
Невооруженным глазом видно, что уравнение имеет корень z = 1; если кому-то не лень - проверьте, что другие корни не вещественные.
(Есть и более важная задача - при каких целых t уравнение имеет целые корни.)
Вот теперь, зная наперед китайские хитрости, я "покажу", как "найти" это решение геометрически. (Сразу предупреждаю, что все дальнейшее - плод 15минутного размышления :))), набрать и нарисовать было дольше.)
1). Берем квадрат и на одной из сторон как на диаметре, построим полуокружность. Из вершины противоположной стороны проведем касательную, и продолжим её до пересечения с продолжением стороны. Очень просто показать, что все условия задачи (t = 1/3) выполнены (раз уж вы просили без, вычислений я опять не привожу, но сразу говорю - они не выходят за рамки теоремы Пифагора). Таким образом, мы показали, что поперечник города равен 900. (ну, понятно же, если еще не сообразили - от северных ворот на юг откладываем 900, проводим перпендикуляр, точку соединяем с "точкой видимости", и получаем "еще одно дерево", и "еще одину окружность". Но дерево только одно, поэтому полученная точка совпадает с южными воротами).
2). Есть и другой, не менее изящный геометрический решения". Он основан на том приятном факте, что образованный треугольник - "египетский". (Здесь, между прочим, возникает уже совсем интересная задача - есть ли такие параметры t, дающие целочисленное решение, помимо тех, что приводят к Пифагоровым треугольникам. Впрочем, её решение очевидно отрицательное.)
В треугольнике со сторонами (3,4,5) разность между катетами составляет как раз 1/3 от меньшего катета. Но нужно еще доказать вот что - если на катете длины 4 "египетского" треугольника отложить от вершины прямого угла 3 и на этом отрезке, как на диаметре, построить окружность, то он коснется гипотенузы. Даказательство этого приведено на третьем рисунке и основано на подобии исходного треугольника и треугольника, "в который вписывается" построенная окружность, а также на том факте, что для "египетского" треугольника радиус вписанной окружности равен 1. Легко видеть, что поперечник города х равен диаметру окружности, вписанной в "египетский" треугольник "в масштабе 3/2", то есть 3. Поэтому вписаная в достроенный треугольник AB'C' окружность совпадает с городской стеной.
(Можно и "дедовскими Центр этой окружности лежит на расстоянии 3/2 от точки В, то есть на расстоянии 4 - 3/2 = 5/2 от точки С, и вместе с расстоянием до АС и отрезком АС от С до точки касания, образует треугольник, подобный "египетскому", то есть его стороны (3/2, 2, 5/2). Легко видеть, что расстояние от центра до АС как раз равно радиусу 3/2.)
Вот собственно и всё. Хитрый китаец Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке (с ума сойти, что знали уже тогда хитрые китайцы), просто отмерил вглубь города от южных ворот утроенное расстояние от точки видимости до этих ворот, тот есть 900 шагов, и попал на северные ворота по только что доказанному свойству "египетского" треугольника.
А вот уже настоящий вопрос. Почему я все слова "решение", "доказательство" и прочее, беру в кавычки? Да потому, что все это - не что иное, как подбора решения с последующим геометрическим обоснованием. Конечно, от этого такие решения не становятся не верными. Но в них есть один существенный изъян, который невозможно преодолеть "чисто геометрически". Это - единственность решения. Её доказать не получится таким Только алгебраически. Если вам скажут, что такой есть - можете умно покивать головой и посмеяться про себя :))) (если вы - воспитаный человек, конечно, для невоспитаных я рецептов не даю :))