Question

Втреугольнике abc стороны ab=6, ac=10, медиана am=7. найти угол площадь треугольника abc-?

Answer 1

1). Продлим AM за точку M таким образом, чтобы MD было равно AM и полученный четырехугольник ABDC был параллелограммом (он и будет таковым по признаку "если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник явл-ся параллелограммом").
Для параллелограмма справедливо следующее:
$BC^{2}+AD^{2} = 2*(AB^{2}+AC^{2})$
$BC^{2}=2*(6^{2}+10^{2})-(2*7)^{2} = 2*136-196 = 76$
$BC = \sqrt{76}= 2\sqrt{19}$.

2). По теореме косинусов для треугольника ABC:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2*AB*AC*cos \angle A$
$76=36+100-2*6*10*cos \angle A$
$cos \angle A = \frac{136-76}{2*60}= \frac{60}{2*60}=\frac{1}{2}$
$\angle A = 60^{\circ}$

3). $S_{ABC}= \frac{1}{2}*AB*AC*sin \angle A$
$S_{ABC}= \frac{1}{2}*6*10*sin 60^{\circ} = 30*\frac{\sqrt{3}}{2}= 15\sqrt{3}$.