Школьные Знания.com
Какой у тебя вопрос?
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим треугольники АВС и угол A равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1. Докажем, что треугольники равны. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1В1, а АС=А1С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1.Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.
ВТОРОЙ ПРИЗНАК. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащих к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС =∠В1А1С1 и ∠АВС=∠А1В1С1, то луч АС совпадёт с А1С1, а ВС совпадёт с В1С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1. Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:
1) Луч С1С проходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.
2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, ∆C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.
3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1. Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников.
Первый признак равенства треугольников - если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников - если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников - если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы
l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)
Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл - это чертеж к задаче.
По условию
5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2;
АВ/ВС = 10/6 = 5/3.
Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).
Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же).
Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим
ВК = 2*a*(c/2)*cos(B/2)/(a + c/2) = 2*a*c*cos(B/2)/(2*a + c);
Аналогично для треугольника АВС
BL = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c);
Делим одно на другое, получаем
ВК/BL = (a + c)/(2*a + c);
Дальше - очень простые выкладки (я намеренно не подставляю числа)
ВК = BL*(a + c)/(2*a + c); KL = BL - BK = BL*(1 - (a + c)/(2*a + c)) = BL*a/(2*a + c);
KL/BK = a/(a + c);
При а = 3; c = 5; KL/BK = 3/8;
Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2.
В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;
Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); легко привести это к виду
KL/BK = 1/(2*k + 1);
при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) = 1/(8/3) = 3/8;
В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник. Я принимаю, что a = 5; (можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат).
Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;
KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;
Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет - я получил общее решение для произвольного k = МК/СК.