Центр шара лежит в точке, равноудалённой от сторон треугольника, образуя вместе с вершинами треугольника треугольную пирамиду с равными апофемами. апофемы равны, значит основание высоты пирамиды лежит в центре вписанной в основание пирамиды окружности. площадь основания можно вычислить по формуле герона: s=√(p(p-a)(p-b)(p- где р=(a+b+c)/2. подставив числовые значения a=13, b=14 и с=15 получим s=84 см. радиус вписанной окружности: r=s/p=2s/(a+b+c). r=2·84/(13+14+15)=4 см. высота пирамиды, проведённая к данному треугольнику - это расстояние от центра шара до треугольника. в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и найденным радиусом, высота по теореме пифагора равна: h=√(l²-r²), где l- апофема пирамиды (равна радиусу шара). h=√(5²-4²)=3 см - это ответ.
, а один из катетов равен 8.
Дан параллельный вектор e¯¯¯={1,−6,−4}.
Для уравнения плоскости нужен нормальный (то есть перпендикулярный) вектор.
Их произведение (скалярное) равно нулю.
Примем одну координату за 0 - по оси Oz.
Получим нормальный вектор (6; 1; 0)
В уравнение плоскости подставим координаты точки М0:
6*(x - 7) + 1*(y - 2) + 0*(z - 9) = 0.
6x - 42 + y - 2 = 0, получаем уравнение:
6x + y - 42 = 0.
Делаем проверку - подставляем координаты точки M1(7,3,10).
6*7 + 3 - 42 = 3. Не проходит плоскость через эту точку.
Тогда нормальный вектор находим как векторное произведение векторов М0М1 и e¯¯¯={1,−6,−4}.
Вектор М0М1 = M1(7,3,10) - M0(7,2,9) = (0; 1; 1)
i j k| i j
0 1 1| 0 1
1 -6 -4| 1 -6 = -4i + 1j + 0k -0j + 6i - 1k = 2i + 1j - 1k.
Получаем координаты нормального вектора (2; 1; -1) и точку M0(7,2,9).
Уравнение плоскости: 2(x - 7) + 1(y - 2) - 1(z - 9) = 0.
2x - 14 + y - 2 - z + 9 = 0.
2x + y - z - 7 = 0.
Проверяем М0: 2*7 + 1*2 - 1*9 - 7 = 14 + 2 - 9 - 7 = 0,
M1(7,3,10): 2*7 + 1*3 -1*10 - 7 = 14 + 3 - 10 - 7 = 0.
Верно.
ответ: уравнение плоскости 2x + y - z - 7 = 0.