I. Высота опущена к основанию. 1. Так как KP - высота, то по свойству она и биссектриса, а значит, ∠K = 40° * 2 = 80° 2. По свойству, ∠L = ∠M. Пусть он равен x, тогда по теореме о сумме углов треугольника 2x+80 = 180 ⇒ 2x = 100 ⇒ x = 50°
II. Высота опущена к боковой стороне, ∠L между ними. 1. Рассмотрим ΔKPM - прямоугольный ∠M = 90 - 40 = 50°, тогда ∠K = ∠M = 50°, так как они при основании равнобедренной трапеции 2. По теореме о сумме углов треугольника ∠L = 180 - 2 * 50 = 80°
III. Высота опущена к боковой стороне, ∠L при основании. 1. Рассмотрим ΔKPM - прямоугольный ∠M = 90 - 40 = 50° 2. По свойству, ∠L = ∠K. Пусть он равен x, тогда по теореме о сумме углов треугольника 2x+50 = 180 ⇒ 2x = 130 ⇒ x = 65°
Сумма геометрической прогрессии в скобках равна 1 / (1 - r^2)
24 / (1 - r^2) = 271 - r^2 = 24 / 27 = 8/9r^2 = 1/9r = +- 1/3
(Для любителей честности: расставлять скобки можно, так как геометрическая прогрессия - абсолютно сходящийся ряд. Легко придумать пример, когда скобки расставлять нельзя: например 1 - 1 + 1 - 1 + ... не имеет суммы, (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0, а из равенства 1 - 1 + 1 - 1 + .. = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) можно "получить", что 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2)