Обозначим эту точку К. Её координаты К(0;у). Расстояние РК = √((0-(-8))²+(у-2)²) = √(64+(у-2)²). Расстояние МК = √((3-0)²+(у-1)²) = √(9+(у-1)²). По заданию РК = 2МК. √(64+(у-2)²) =2√(9+(у-1)²), возведём в квадрат обе части. 64+(у-2)² =4(9+(у-1)²) 64+у²-4у+4 = 36+4у²-8у+4. Получаем квадратное уравнение: 3у²-4у-28 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:D=(-4)^2-4*3*(-28)=16-4*3*(-28)=16-12*(-28)=16-(-12*28)=16-(-336)=16+336=352; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: y_1=(√352-(-4))/(2*3)=(√352+4)/(2*3)=(√352+4)/6=√352/6+4/6=√352/6+(2/3) ≈ 3.79361050654895; y_2=(-√352-(-4))/(2*3)=(-√352+4)/(2*3)=(-√352+4)/6=-√352/6+4/6=-√352/6+(2//3)≈ -2.46027717321561. Эти 2 корня и есть координаты на оси у точки К, удалённой от точек Р и М в соответствии с заданием.
Чтобы найти отношение площадей, надо, как минимум, найти эти площади. Из того, что нам дано (стороны треугольников), наиболее подходящей формулой для определения площадей будет: S=(1/2)*a*b*Sinα, так как для треугольников АВС, А1В1С, С1ВА1 и АС1В1 имеем значения двух сторон и угла между ними (он у них общий). Тогда Sabc=(1/2)*AB*AC*sinA, a Sac1b1=(1/2)*(1/2)AB*(1/4)AC*sinA. То есть Sac1b1=(1/8)*Sabc. Sabc=(1/2)*AB*BC*sinB, a Sc1ba1=(1/2)*(1/2)AB*(3/10)BC*sinB. То есть Sc1ba1=(3/20)*Sabc. Sabc=(1/2)*AC*BC*sinC, a Sb1a1c=(1/2)*(3/4)AC*(7/10)BC*sinC. То есть Sb1a1c=(21/40)*Sabc. Заметим, что Sa1b1c1 равна разности Sabc - (Sac1b1+ Sc1ba1+Sb1a1c). Или Sabc-((1/8)+(3/20)+(21/40))*Sabc=Sabc-(4/5)*Sabc = (1/5)*Sabc. То есть отношение площадей ∆АВС и ∆А1В1С1 равно 5:1.
Расстояние РК = √((0-(-8))²+(у-2)²) = √(64+(у-2)²).
Расстояние МК = √((3-0)²+(у-1)²) = √(9+(у-1)²).
По заданию РК = 2МК.
√(64+(у-2)²) =2√(9+(у-1)²), возведём в квадрат обе части.
64+(у-2)² =4(9+(у-1)²)
64+у²-4у+4 = 36+4у²-8у+4.
Получаем квадратное уравнение:
3у²-4у-28 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=(-4)^2-4*3*(-28)=16-4*3*(-28)=16-12*(-28)=16-(-12*28)=16-(-336)=16+336=352;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√352-(-4))/(2*3)=(√352+4)/(2*3)=(√352+4)/6=√352/6+4/6=√352/6+(2/3) ≈ 3.79361050654895;
y_2=(-√352-(-4))/(2*3)=(-√352+4)/(2*3)=(-√352+4)/6=-√352/6+4/6=-√352/6+(2//3)≈
-2.46027717321561.
Эти 2 корня и есть координаты на оси у точки К, удалённой от точек Р и М в соответствии с заданием.