Найдите косинус угла В треугольника АВС, если А(2;-4;2), В(3;-3;3), С(4;0;1)
. Векторный (*).
Координаты вектора ВА( -1;-1 ;-1) , вектора ВС(1; 3;-2).
Длины векторов |BA|=√((-1)²+(-1)²+(-1)²)=√3, |BC|=√(1²+3³+(-2)²)=√14 .
cos B= 
.
2 cпособ. По т. косинусов (**).
Для ΔАВС применим т. косинусов: АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cosВ.
Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками (***) АВ=√( (3-2)²+(-3+4)²+(3-2)² )=√(1+1+1)=√3,
АС=√(2²+4²+(-1)²)=√21, ВС=√(1²+3²+(-2)²)=√14.
Тогда √21²=√3²+√14²-2*√3*√14*cosВ,
cosВ =
= 
= 
.
===================================
(*)Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.
(**)Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
(***)d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²+ (z₁-z₂)²), где (х₁;у₁; z₁), (х₂;у₂; z₂) -координаты концов отрезка.
1)
треугольник АВС
к каждой стороне проводим серединный перпендикуляр
к стороне АВ - серединн. перпендикуляр -с
к стороне ВС - серединн. перпендикуляр -а
к стороне АС - серединн. перпендикуляр -b
точка пересечения перпендикуляров О - равноудалена от всех вершин
2)
угол АВС
DE - прямая пересекает стороны угла
строим биссектриссы
BB1 - биссектриса <B
DD1 -биссектриса <BDE
EE1 - биссектриса <DEB
точка пересечения биссектрис О равноудалена от от прямой,пересекающей стороны угла и от сторон данного угла
3)
также как и пункте 2) через биссектрисы
треугольник АВС
строим биссектриссы
BB1 - биссектриса <B
AA1 -биссектриса <A
CC1 - биссектриса <C
точка пересечения биссектрис О равноудалена от трех сторон треугольника
36:27=20:C₁D₁
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних
36С₁D₁=27·20
С₁D₁=15
вот