task/30121172 Даны три последовательные вершины параллелограмма MPKT параллелограмм M( -1 ; 2) , P(3; 1) , K(1 ; -2). Напишите уравнение прямой PT.
решение Диагонали параллелограмма точкой пересечения , пусть здесь это точка A( x₀; y₀) делятся пополам.
X(A) =( ( X(M) +X(K) ) / 2 = ( - 1 + 1 ) / 2 = 0 ;
Y(A) =( ( Y(M) +Y(K) ) / 2 = (2 + (-2) ) / 2 = 0 .
Получилось , что точка пересечения диагоналей совпадает c началом координат ( диагонали проходят через начало координат).
Поэтому искомое уравнение имеет вид : у = kx ; прямая проходит через точку P(3 ; 1 ) , поэтому 1 = k*3 ⇒ k =1 /3 и y =(1/3)*x.
ответ: y = (1/3)*x
P.S. В данном конкретном случае не было необходимости определить координаты вершины T.
Общее решение. Определим координаты вершины T.
X(A) = ( ( X(M) +X(K) ) / 2=( ( X(P) +X(T) ) / 2 , где A -точка пересечения диагоналей MK и PT. Следовательно :
X(T) = X(M) +X(K) - X(P) ) ⇔ - 1 + 1 = 3 + x₂ ⇔ x₂ = - 3 . Аналогично :
Y(T) = Y(M) + Y(K) - Y(P) ⇔ 2 + (-2) = 1 + y₂ ⇔ y₂ = - 1 . P ( 3; 1 ) и T( -3 ; -1 )
Уравнение прямой проходящей через две точки ( x₁ ; y₁) и (x₂ ; y₂) :
y - y₁ = [ (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) ]*(x - x₁) ; k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) - угловой коэфф.
В данном случае ( x₁ ; y₁) ≡ ( 3; 1 ) и (x₂ ; y₂) ≡ ( -3 ; -1 )
y - 1 = (-1 -1) /( -3 - 3) * (x -3) ⇔ y - 1 = (1 /3) * (x - 3) ⇔ y = (1 /3) * x .
1) Эту задачу можно решить двумя
1 - геометрическим,
2 - координатным.
1. АВ = √(8² + 10² - 2*8*10*cos(180-2*30)) = √(64 + 100 + 80) = √244 = 2√61.
Далее используем формулу определения длины медианы L.
L = (1/2)*√(2*8² + 2*10² - 244) = (1/2)√84 = √21.
2. Находим координаты точек А и В с учётом длины отрезков и углов.
А = (10*cos30; 10*sin30) = (5√3; 5).
B = (8*cos(-30); 8*sin(-30)) = (-4√3; 4).
Находим основание М медианы как середину АВ : М = (0,5√3; 4,5).
Вектор ОМ равен (0,5√3; 4,5).
Его длина - это длина медианы: |OM| = √((0,5√3)² + 4,5²) =√21.
2) Даны вершины треугольника А(3; 5), В(1; 3), С(4;4).
Расчет длин сторон
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √8 ≈ 2,828427125.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √10 ≈ 3,16227766.
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √2 ≈ 1,414213562.
Периметр равен √8 +√10 +√2 ≈ 7,40492 .