А1 Если точка лежит в плоскости YOZ, то x=0;
ответ: а) A(0; 1; 1).
A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:
x(М) = (x(A) + x(В))/2; ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);
x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5
y(B) = 2 · 4 - 3 = 5
z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12
ответ: a) B(- 5; 5; 12).
A3 B(6; 3; 6) C(- 2; 5; 2)
Если АМ медиана, то M - середина ВС.
x(M) = (6 - 2)/2 = 2; y(M) = (3 + 5)/2 = 4; z(M) = (6 + 2)/2 = 4
M(2; 4; 4); A(1; 2; 3)
AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;
AM = √6
ответ: а) √6
А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
↑a · ↑b = 1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0
ответ: б) 0.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
КК₁ = 2ОК = 4 см
ответ: 4 см
Точка пересечения высот никак не является центром описанной окр-ти. Центром этой окр-ти является точка пересечения срединных перпендикуляров. Точки Н и О совпадают только для правильного(равностороннего) треугольника. Так что с условием все в порядке.
Вложения не проходят. Поэтому подробное решение высылаю по почте. Здесь отмечу ключевые моменты.
Решаем методом координат. Ось Х направим по стороне АС данного треугольника. Находим координаты ключевых точек:
А(0;0), В(8/3; (4кор5)/3), С(9; 0)
Находим уравнения необходимых прямых:
АВ: у = (кор5)х/2,
ВС: у = (-4кор5/19)х + (36кор5)/19,
AD (высота):у = (19кор5)х/20
СЕ (высота): у = (-2кор5)х/5 + (18кор5)/5
Точка Н (пересечение СЕ и AD): (8/3; (38кор5)/15.)
МО (срединный перпенд.): у = (-2кор5)х/5 + (6кор5)/5.
ОК: х = 4,5
Точка О( пересечение ОК и МО): ((4,5; (-3кор5)/5).
ОН = кор(1049/20) = 7,24 (примерно)
ответ: ОН = 7,24
б) Находим координаты вершин ортотреугольника EFD:
Е(4; 2кор5)
F(8/3; 0)
D(80/49; (76кор5)/49)
И находим площадь по формуле через координаты вершин:
S = |(1/2)[(x1-x3)(y2-y3) -(x2-x3)(y1-y3)]| =(304кор5)/147 = 4,62
ответ: S = 4,62
48-7:2=. Сам порахувати зможеш?