Question

Більша діагональ прямокутної трапеції поділяє висоту, проведену з вершини тупого кута на відрізки 20 і 12 см. більша бічна сторона трапеції дорівнює її меньшій основі. знайти площу трапеції

Answer 1

Большая диагональ разрезает трапецию на два треугольника, один из которых прямоугольный, а другой - равнобедренный. Острый угол прямоугольного при большом основании трапеции равен углу при основании равнобедренного, поэтому большая диагональ  - биссектриса острого угла трапеции. 

Рассмотрим теперь треугольник, образованный высотой из вершины тупого угла трапеции, большей боковой стороной и её проекцией на большее основание. В задаче задано, что диагональ делит высоту (равную 20+12 = 32) в пропорции 20/12 = 5/3. Поскольку диагональ трапеции в этом треугольнике является биссеткрисой, то отношение боковой стороны к её проекции на большое основание тоже равно 5/3. То есть этот треугольник "египетский" (подобный треугольнику со сторонами (3,4,5)) Легко видеть, что стороны этого треугольника равны (24,32,40).

Таким образом, вычислены все стороны (и высота, равная меньшей боковой стороне) - меньшее основание и большая боковая сторона равны 40, высота 32 (это просто задано в условии), и большее основание равно 40 + 24 = 64.

Площадь трапеции равна (64 + 40)*32/2 = 1664.

Answer 2

Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла на отрезки 20 и 12 см. Большая боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найти площадь трапеции.

Обозначим нижнее основание "а", а верхнее основание – "b". Высота треугольника CE=h=20+12=32см, точка пересечения диагонали и высоты "F"

Из подобия треугольников АBD и EFD запишем пропорцию АВ/ЕF=AD/ED.

32/12=a/a-b.   12a=32a-32b.   20a=32b.   a=1,6b.

Рассмотрим треугольник СЕD: CD=b, ED=a-b=0,6b, CE=32.

По теореме Пифагора b²=32²+(0,6b)².  0,64b²=32².

b = √1024/0,64 = 40см. а = 1,6*40 = 64см

Площадь трапеции S=(a+b)*h/2=(64+40)*32/2=1664см²²