Ля того, чтобы определить площадь сегмента сферы, нужно знать длину окружности отсеченного круга и высоту шарового сегмента. Произведение этих двух составляющих и будет являться площадью сегмента сферы: S=2πRh, где h – высота сегмента, 2πR - длина окружности, а R – радиус большого круга. Для того, чтобы вычислить площадь сегмента круга, можно прибегнуть к следующим формулам: 1. Чтобы найти площадь сегмента самым простым необходимо вычислить разность между площадью сектора, в который вписан сегмент, и площадью равнобедренного треугольника, у которого основание является хордой сегмента: S1=S2-S3, где S1 - площадь сегмента, S2 - площадь сектора и S3 - площадь треугольника. Можно воспользоваться приближенной формулой вычисления площади кругового сегмента: S=2/3*(a*h), где a – основание треугольника или длина хорды, h – высота сегмента, которая является результатом разности между радиусом круга и высотой равнобедренного треугольника. 2. Площадь сегмента, отличающегося от полукруга, подсчитывается следующим образом: S = (π R2:360)*α ± S3, где π R2 – площадь круга, α – градусная мера центрального угла, которая содержит дугу сегмента круга, S3 – площадь треугольника, который образовался между двумя радиусами круга и хордой, владеющего углом в центральной точке круга и двумя вершинами в местах соприкосновения радиусов с окружностью. Если угол α < 180 градусов, используется знак минус, если α > 180 градусов, применяется знак плюс. 3. Вычислить площадь сегмента можно и другими методами при тригонометрии. Как правило, за основу берется треугольник. Если центральный угол измеряется в градусах, тогда приемлема следующая формула: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, где R2 – квадрат радиуса круга, α – градусная мера центрального угла. 4. Чтобы рассчитать площадь сегмента с тригонометрических функций, можно воспользоваться и другой формулой при условии, что центральный угол измеряется в радианах: S= R2 * (α - sin α)/2, где R2 – квадрат радиуса круга, α – градусная мера центрального угла.
Если провести все диагонали в шестиугольнике, то они его разрежут на шесть равных равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника. Значит площадь треугольника с той же стороной в шесть раз меньше площади шестиугольника. Выходит, если сторону шестиугольника увеличим в корень из 6 раз, (площадь при этом увеличится в 6 раз) и построим на ней равносторонний треугольник, задача окажется решённой.
Так что дело сводится к тому, чтобы построить отрезок длины корень из 6 при заданном отрезке длины 1. Это можно сделать с теоремы Пифагора - построить два отрезка длины 2 и корень из 2 (последний - диагональ единичного квадрата). На этих отрезках строим прямоугольный треугольник. Его гипотенуза - нужный нам отрезок. Дальше дело техники - циркулем на стороне отрезка радиусом, равным длине отрезка строим две полуокружности, одну - с центром в начале отрезка, другую - с центром в конце. Точку их пересечения соединяем с концами отрезка - получится искомый треугольник.
