Предлагаю координатный метод. Привяжем систему координат к вершине В куба. Пусть сторона ВС - ось Х, сторона ВВ1 - ось Y, а сторона ВА - осьZ. Тогда имеем: Точки В(0;0;0), C(1;0;0), D1(1;1;1) B1(0;1;0), C(1;0;0) D(1;0;1).
Для составления уравнения плоскости используем формулу: |x - xB xC - xB xD - xB| |y - yB yC - yB yD - yB| = 0. |z - zB zC - zB zD - zB| Для составления уравнения плоскости CD1A1B подставим данные трех наших точек B,C и D1: |х-0 1 1| |y-0 0 1| = 0. |z-0 0 1| Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости: |0 1| |1 1| |1 1| х*|0 1| - y*|0 1| + z*|0 1| =0. x*(0-0) - y*(1-0) + z*(1-0) = 0. Или х*(0)-y*(-1)+z*(1)=0 Это уравнение прямой вида А1х+В1y+C1z=0 с коэффициентами А1=0, В1=-1, С1=1. Для составления уравнения плоскости DA1B1С подставим данные трех наших точек B1,C и D: |х-0 1 1 | |y-1 -1 -1 | = 0. |z-0 0 1 | Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости: |-1 -1| |1 1| | 1 1| х*| 0 1| - y*|0 1| + z*|-1 -1| =0. x*(-1-0)) - y*(1-0) + z*(-1+1) = 0. Или х*(-1)-y*(1)+z*(0)=0 Это уравнение прямой вида А2х+В2y+C2z=0 с коэффициентами А2=-1, В2=-1, С2=0 . Угол между плоскостями определяется по формуле: Cosα=|A1*A2+B1*B2+C1*C2|/[√(A1²+B1²+C1²)*√(A2²+B2²+C2²)]. В нашем случае: Cosα=|0+1+0|/[√(0+1²+1²)*√(1²+1²+0)]=1/2. α=60°. ответ: искомый угол равен 60°.
Если провести высоту через центр вписанной окружности, и радиусы в точки касания, то очевидно h = 2*R; m/(2*R) = sin(α); α - угол при большем основании, трапеции. Второе соотношение только кажется неочевидным - угол, под которым видна половина заданной хорды из центра окружности, составляет 180° вместе с углом трапеции при меньшем основании, то есть равен углу при большем основании трапеции. Кроме того, в описанной равнобедренной трапеции боковая сторона равна полусумме оснований c = (a + b)/2, поэтому S = c*h; Получилось m/h = h/c; c = S/h; или (2*R)^3 = m*S; R^3 = m*S/8; Отсюда легко найти R, а потом и площадь круга. Если подставить числовые значения, то R = 5; площадь круга 25π
Відповідь:
внутренний угол при вершине В
180-60-50=70°
Внешний угол при вершине В
180-70=110°
Пояснення: