Вравнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 8, проведены биссектрисы углов при основании. отрезок, соединяющий точки пересечения биссектрис с боковыми сторонами, равен 2. найти площадь треугольника.
Пусть основание тр-ка равно а. Тогда Биссектриса делит боковую сторону на отрезки в отношении 8/a, считая от вершины, противоположной основанию. Пусть эти отрезки равны m и n. Тогда
n/m = a/8;
m + n = 8;
Прямая, соединяющая концы биссектрис углов при основании, II основанию, и отсекает подобный треугольник, поэтому
m/8 = 2/a; перемножаем это с первым уравнением, получаем
Решать будем, используя неравенство треугольника: Длина любой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон, т. е. если a, b, c - стороны треугольника, то, например с<=а+b.
По условию задачи а=10 см, b=4 см. Пусть с - неизвестная сторона. Т.к. треугольник равнобедренный, то у него две стороны равны, а значит возможны два случая: 1 случай: а=10 см, b=4 см, с=4 см 2 случай: а=10 см, b=4 см, с=10 см. Проверим выполнимость неравенства треугольника в обоих случаях: 1 случай: 10<=4+4, 10<=8 - неверное неравенство. Неравенство треугольника не выполняется, значит с≠4. 2 случай: 10<=4+10, 10<=14 - верное неравенство 4<=10+10, 4<=20 - верное неравенство Неравенство треугольника выполняется, а значит с=10 см. ответ: 10 см.
1. Даны точки А(2;0;-1), В(3;1;-2), С(4;-7;2), Д(1;4;-5). Найти: а) координаты векторов АВ и СД. б) Вектор 2АВ – CD.  в) косинус угла между векторами АВ и СД.2. При каком значении п векторы АВ и CD будут перпендикулярны, если А(1;0;1), В(-2;3;0), С(4;6;п), Д(п;6;-8).3. Даны точки с координатами Р(4;-1;2), К(3;0;-1), М(1;-6;8). Найдите координаты точки С, чтобы вектора РК и МС были равны.Решение.а) Координаты вектора АВ: AB{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{1;1;-7}.Координаты вектора CD: CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{-3;11;-1}.б) Разность векторов 2АВ-СD равна вектору (2АВ-СD ){2Xab-Xcd;2Yab-Ycd;2Zab-Zcd} или(2АВ-СD ){5;-9;-13}.в) Cos(AB,CD)=скалярное произведение векторов АВ и СD, деленное на произведение их модулей.Cosα=(Xab*Xcd+Yab*Ycd+Zab*Zcd)/|AB|*|CD| или Cosα=(-3+11+7)/[√(1+1+49)*√(9+121+1)=15/√6681≈15/81,7≈0,184.2. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. (Xab*Xcd+Yab*Ycd+Zab*Zcd)=0 Координаты вектора АВ: AB{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{-3;3;-1}.Координаты вектораCD: CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{п-4;0;-8-п}. Тогда -3п+0+8+п=0, отсюда п=4.3. Вектора равны, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и равны по модулю.Вектора коллинеарны, если найдется такое число k, что Xa/Xb=Ya/Yb=Za/Zb=k.Или (Xk-Xp)/(Xc-Xm)=(Yk-Yp)/(Yc-Ym)=(Zk-Zp)/(Zc-Zm)=k.Вектор РК{Xk-Xp=-1;Yk-Yp=1;Zk-Zp=-3} его длина (модуль) |PK|=√(1+1+9)=√11.Возьмем k=1 (так как вектора должны быть сонаправлены и равны по модулю).Тогда Xc-Xm=-1, Yc-Ym=1, Zc-Zm=-3. Отсюда Xc=0, Yc=-5,Zc=5.Проверим: вектор MC{0-1;-5+6;5-8}, его длина (модуль): |МС|=√(-1)²+1²+(-3)²]=√11. Модули векторов РК и МС равны, вектора РК и МС коллинеарны (k=1).Итак, векторы равны при координатах точки С(0;-5;5
Пусть основание тр-ка равно а. Тогда Биссектриса делит боковую сторону на отрезки в отношении 8/a, считая от вершины, противоположной основанию. Пусть эти отрезки равны m и n. Тогда
n/m = a/8;
m + n = 8;
Прямая, соединяющая концы биссектрис углов при основании, II основанию, и отсекает подобный треугольник, поэтому
m/8 = 2/a; перемножаем это с первым уравнением, получаем
n/8 = 2/8; n = 2; m = 6; a = 8/3;
Высота к основанию находится так
h^2 = 8^2 - (a/2)^2 = 8^2 - (8/6)^2 = 35*(8/6)^2;
h = 4*√35/3;
S = a*h/2 = (16/9)*√35