У трикутнику ABC точка О є центром описаного кола, точки A 1 , В 1 , С 1 є серединами відрізків ОА , ОВ, ОС відповідно. Доведіть, що трикутники ABC і А 1 В 1 С 1 подібні.
В равностороннем треугольнике все углы равны 60° Т.к. AD - биссектриса, то угол DAC=углу BAD = 30° Равносторонний треугольник является также равнобедренным. В равнобедренном треугольнике биссектриса является также медианой и высотой. AD - высота расстояние от D до AC обозначим K. Расстояние от точки до прямой является перпендикуляром. Значит угол AKD = 90° В треугольнике AKD угол K=90° угол A=30° угол В=90-30=60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°) DK=6 см (по условию) Катет лежащий напротив угла 30° (A) равен половине гипотенузы DK равно половине AD AD = 2 · DK = 2 · 6=12 см
Рассматриваем тр.-ник ECD.В нём EC=CD(следовательно треугольник равнобедренный) и проведён диаметр EK.Нам нужно доказать,что он (EK) перпендикулярен CD.Для этого строим FC и FD,опять равнобедренный треугольник FCD,где FC=FD.Из равенства углов ECD=CDE и FCD=FDC получаем,что ECK=KDE.Выходит,что треугольник ECF и EDF равны по двум сторонам и двум углам между ними.Из этого следует,что угол CEK=DEK. Теперь вернёмся к треугольнику ECD.В нём EK-биссектрисса,а значит и медиана.Отсюда следует,что CK=KD.Теорема доказана.
Т.к. AD - биссектриса, то угол DAC=углу BAD = 30°
Равносторонний треугольник является также равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике биссектриса является также медианой и высотой.
AD - высота
расстояние от D до AC обозначим K.
Расстояние от точки до прямой является перпендикуляром. Значит угол AKD = 90°
В треугольнике AKD
угол K=90°
угол A=30°
угол В=90-30=60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°)
DK=6 см (по условию)
Катет лежащий напротив угла 30° (A) равен половине гипотенузы
DK равно половине AD
AD = 2 · DK = 2 · 6=12 см