Вправильную треугольную пирамиду со стороной и боковым ребром 3 корня из 2 вписана другая треугольная пирамида так, что её вершинами являются центры граней первой пирамиды. найдите 3v, где v-объём меньшей пирамиды.
Пусть А - длина ребра большой пирамиды. Тогда полупериметр основания:
р = 3А/2
Площадь основания большой пирамиды:
S = √[p(p-a)³] = √[3А/2 · (А/2)³] = (А²√3)/4.
Высота большой пирамиды
Н = √(А² - А²/3) = А√(2/3)
Основание малой пирамиды образует плоскость, параллельную основанию большой пирамиды, т.к. вершины треугольника находятся на одном уровне от основания большой пирамиды, на высоте h, равной половине высоты Н большой пирамиды:
h =1/2 · А√(2/3) = A/√6
Рассечём большую пирамиду по плоскости основания маленькой пирамиды. Получим правильный треугольник с основанием, равным В = 0,5А. Сторона а основания малой пирамиды будет стороной правильного треугольника, вершины которого лежат на серединах сторон В. Поэтому сторона а = 0,5·0,5А = А/4
Площадь основания малой пирамиды (по аналогии с S = (А²√3)/4 )равна
У точек А и С координаты Х одинаковы, значит эта прямая проходит параллельно оси Y. Мы знаем, что расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр, опущенный из этой точки на прямую. В нашем случае это будет отрезок, параллельный оси Х. Следовательно, расстояние от любой точки на координатной плоскости до прямой АС будет равно модулю разности координат Х этой точки и координаты Х точки, расположенной на этой прямой. ответ: искомое расстояние равно (18-(-32)=50.
Решение для общего случая: В общем случае надо было написать уравнение прямой, проходящей через две точки: А и С и из него получить уравнение перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку В: (X+32)/0=(Y-16)/11 или Х+32=0 (1). То есть в уравнении прямой АС в классическом виде: Ax+By+C=0 мы получили коэффициенты А=1 и В=0. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной прямой АС и проходящей через точку В(18;44): а) Выделим вектор нормали для прямой АС: n(1;0) - это НАПРАВЛЯЮЩИЙ ВЕКТОР для искомого перпендикуляра. Тогда уравнение перпендикуляра составим по точке В и направляющему вектору n(1;0): (X-18)/1=(Y+44)/0 или Y=-44.(2) Точка пересечения прямой АС и перпендикуляра ВD к этой прямой найдется из системы уравнений (1) и (2): D(-32;-44). Расстояние (модуль) ВD: |ВD|=√[(Хd-Xb)²+(Yd-Yb)²]=√[(-32-18)²+(=-44-(-44))²]=50. ответ:50.
Проведём перпендикуляр А!Р⊥АВ. В равнобедренной трапеции АА1В1В АР=(АВ-А1В1)/2=(4-2)/2=1 дм. В прямоугольном тр-ке АА1Р А1Р²=АА1²-АР²=2²-1²=3, А1Р=√3 дм - апофема.
Точки О и О1 - центры оснований (квадратов), О1К⊥А1В1, ОМ⊥АВ, значит О1К=А1В1/2=1 дм, ОМ=АВ/2=2 дм. Проведём КН⊥ОМ. МН=ОМ-ОН=ОМ-О1К=2-1=1 дм. В тр-ке KMH КН²=КМ²-МН², КМ=А1Р. КН²=3-1=2, О1О=КН=√2 дм - высота.
Если нужны высота и апофема полной пирамиды, то отрезок А1В1 в боковой грани пирамиды с основанием АВ меньше этого основания в два раза и А1В1║АВ, значит А1В1 - средняя линия треугольника (боковой грани полной пирамиды). Следовательно апофема полной пирамиды равна КМ·k=КМ·2=2√3 дм, а высота 2·О1О=2√2 дм.
Пусть А - длина ребра большой пирамиды. Тогда полупериметр основания:
р = 3А/2
Площадь основания большой пирамиды:
S = √[p(p-a)³] = √[3А/2 · (А/2)³] = (А²√3)/4.
Высота большой пирамиды
Н = √(А² - А²/3) = А√(2/3)
Основание малой пирамиды образует плоскость, параллельную основанию большой пирамиды, т.к. вершины треугольника находятся на одном уровне от основания большой пирамиды, на высоте h, равной половине высоты Н большой пирамиды:
h =1/2 · А√(2/3) = A/√6
Рассечём большую пирамиду по плоскости основания маленькой пирамиды. Получим правильный треугольник с основанием, равным В = 0,5А. Сторона а основания малой пирамиды будет стороной правильного треугольника, вершины которого лежат на серединах сторон В. Поэтому сторона а = 0,5·0,5А = А/4
Площадь основания малой пирамиды (по аналогии с S = (А²√3)/4 )равна
s = (a²√3)/4 = A²√3)/(4·16) = A²√3)/64
Требуется найти 3v = s·h
3v = A²√3)/64 · A/√6 = A³/(64√2)
Подставим А = 3√2
3v = (3³·2√2)/(64√2) = 27/32
ответ: 3v = 27/32