Абсд - трапеция. Радиусы окружностей, описанных около треугольников абс, бсд и асд равны р1, р2 и р3 соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника абд
Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Т.к. грани одинаково наклонены к плоскости основания, то высота пирамиды опускается в центр вписанной в трапецию окружности. Свойство описанного четырёхугольника: суммы противолежащих сторон равны, значит сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, следовательно периметр равен: Р=2(2+4)=12 Площадь боковой поверхности: Sбок=РН/2=12·5/2=30 ед² Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию: r=, высота трапеции: h=2r==√8=2√2 Площадь трапеции: Sт=h(a+b)/2=6√2 Общая площадь: Sобщ=Sт+Sбок=30+6√2 ответ: a. 30+6
, высота трапеции: h=2r=
=√8=2√2
p1p2/p3
Объяснение:
В трапеции ABCD:
1)∠BCA=∠CAD=α и ∠DBC=∠BDA=β как накрест лежащие.
2)По теореме синусов:
для ΔACD: CD/sinα=2p3, откуда sinα=CD/2p3
для ΔABC: AB/sinα=2p1, откуда sinα=AB/2p1
тогда sinα=CD/2p3=AB/2p1, т.е. CD/AB=2p3/2p1=p3/p1
для ΔBCD: CD/sinβ=2p2, откуда sinβ=CD/2p2
для ΔABD: AB/sinβ=2p4, где p4 - радиус окружности, описанной около ΔABD, откуда sinβ=AB/2p4
тогда sinβ=CD/2p2=AB/2p4, т.е. CD/AB=2p2/2p4=p2/p4
Но ранее мы уже написали, что CD/AB=p3/p1, тогда p3/p1=p2/p4, откуда p4=p1p2/p3.