Если расстояние от вершины прямого угла до плоскости гамма обозначить d, и a,b,c,h - катеты, гипотенуза и высота к гипотенузе прямоугольного треугольника, то синус искомого угла равен
Sin(Ф) = d/h;
При этом, очевидно,
d = a*sin(альфа) = b*sin(вета);
(то есть b = a*sin(альфа)/sin(вета))
c = корень(a^2 + b^2) = a*корень(1 + (sin(альфа)/sin(вета))^2)
h = a*b/c;
В результате все длины можно выразить через а (ну, или через b, если очень хочется) и заданные углы и подставить в выражение
Sin(Ф) = d/h = d*c/(a*b) = корень((sin(альфа))^2+(sin(вета))^2);
Пусть х - один из катетов, тогда y - второй катет. Используя теорему Пифагора, составим систему уравнений:
13=√(х²+у²)
13+2=√((х+4)²+у²)
13=√(х²+у²)
15=√((х+4)²+у²)
Возуведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
169=х²+у²
225=(х+4)²+у²
169=х²+у²
225=х²+8х+16+у²
Из первого уравнения выразим х:
169=х²+у²
х²=169-у²
х=√(169-у²)
Теперь подставим выражение √(169-у²) вместо х во второе уравнение:
225=х²+8х+16+у²
225=(√(169-у²))²+8(√(169-у²))+16+у²
225=169-у²+8√(169-у²)+16+у²
225-169-16=8√(169-у²)
40=8√(169-у²)
40:8=√(169-у²)
5=√(169-у²) - возведем обе части в квадрат.
25=169-у²
у²=169-25
у²=144
у=√144
у=12 см - первый катет.
Если у=12, то х=√(169-у²)=√(169-12²)=√(169-144)=√25=5 см - второй катет.
ответ: катеты равны 5 и 12 см.